Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:13

Первісна (x + 1)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: ln(abs(x)) + x + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫x+1x dx\int \frac{x+1}{x}\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ∫x+1x dx\int \frac{x+1}{x}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. x+1x=1x+1\frac{x+1}{x} = \frac{1}{x}+1
      Поділимо кожен член чисельника на знаменник
    3. ∫x−1 dx=ln⁡(∣x∣)\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)
      Правило для оберненої функції: ∫ 1/x dx = ln|x|
    4. ∫1x−1 dx=ln⁡(∣x∣)\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)
      Винесення сталого множника: ∫ k·f dx = k∫ f dx
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫x0 dx=x\int {x}^{0}\,dx = x
      Інтеграл степеня: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    2. ∫1x0 dx=x\int 1{x}^{0}\,dx = x
      Винесення сталого множника: ∫ k·f dx = k∫ f dx
    3. ∫1x−1+1x0 dx=ln⁡(∣x∣)+x\int 1{x}^{-1}+1{x}^{0}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x
      Правило суми: інтегруємо почленно
    4. ∫x+1x dx=ln⁡(∣x∣)+x+C\int \frac{x+1}{x}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  4. 4. Відповідь
    ln⁡(∣x∣)+x+C\ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C

    ∫ (x + 1) / x dx = ln(abs(x)) + x + C

  5. 5. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Первісна (x плюс 1)/x. Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) (x плюс 1) / x за x.

Кроки, частина 1. Записуємо інтеграл. Поділимо кожен член чисельника на знаменник. Правило для оберненої функції: інтеграл від 1/x dx дорівнює ln|x|. Винесення сталого множника: інтеграл від k помножити на f dx дорівнює k інтеграл від f dx.

Кроки, частина 2. Інтеграл степеня: інтеграл від x у степені n dx дорівнює x у степені n плюс 1/(n плюс 1). Винесення сталого множника: інтеграл від k помножити на f dx дорівнює k інтеграл від f dx. Правило суми: інтегруємо почленно. Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: ln(abs(x)) плюс x плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Первісна (x + 1)/x — покроковий відеоурок