Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 0:51

Обчисліть ∫ 2x/(x²+1) dx

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: ln(abs(x² + 1)) + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫2xx2+1 dx\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∫2xx2+1 dx\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. ∫2xx2+1 dx=ln⁡(∣x2+1∣)\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx = \ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)
      Правило логарифма: чисельник є сталою, помноженою на похідну знаменника, ∫ u′/u dx = ln|u|
    3. ∫2xx2+1 dx=ln⁡(∣x2+1∣)+C\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx = \ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right) + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  3. 3. Відповідь
    ln⁡(∣x2+1∣)+C\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right) + C

    ∫ 2 x / (x² + 1) dx = ln(abs(x² + 1)) + C

  4. 4. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: інтеграл від 2x/(x у квадраті плюс 1) dx. Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) 2 x / (x у квадраті плюс 1) за x.

Крок за кроком. Записуємо інтеграл. Правило логарифма: чисельник є сталою, помноженою на похідну знаменника, інтеграл від u штрих /u dx дорівнює ln|u|. Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: ln(abs(x у квадраті плюс 1)) плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Обчисліть ∫ 2x/(x²+1) dx — покроковий відеоурок