Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:01

Обчисліть ∫ eˣ cos(x) dx

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. ∫eaxcos⁡bx dx=eax(acos⁡bx+bsin⁡bx)a2+b2\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}
      Інтегруємо частинами двічі
    3. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2}
      Експоненціальна × тригонометрична (двічі частинами)
    4. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  3. 3. Відповідь
    ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C

    ∫ e^x cos(x) dx = e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C

  4. 4. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: інтеграл від e у степені x cos(x) dx. Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) e у степені x cos(x) за x.

Крок за кроком. Записуємо інтеграл. Інтегруємо частинами двічі. Двократне інтегрування частинами повертає початковий інтеграл I, тому I дорівнює e^ ax (a cos bx плюс b sin bx)/(a у квадраті плюс b у квадраті) з дорівнює 1, b дорівнює 1. Експоненціальна помножити на тригонометрична (двічі частинами). Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: e у степені x помножити на (cos(x) плюс sin(x)) / 2 плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Обчисліть ∫ eˣ cos(x) dx — покроковий відеоурок