Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 0:53

Інтегруйте 1/(x²-1)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2}
      Метод невизначених коефіцієнтів: розкладемо 1/((x − r₁)(x − r₂)) на A/(x − r₁) + B/(x − r₂)
    3. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  3. 3. Відповідь
    −ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C-\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C

    ∫ 1 / (x² - 1) dx = -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C

  4. 4. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте 1/(x у квадраті мінус 1). Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) 1 / (x у квадраті мінус 1) за x.

Крок за кроком. Записуємо інтеграл. Метод невизначених коефіцієнтів: розкладемо 1/((x мінус r₁)(x мінус r₂)) на A/(x мінус r₁) плюс B/(x мінус r₂). Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: -(ln(abs(x плюс 1)) / 2) плюс ln(abs(x мінус 1)) / 2 плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Інтегруйте 1/(x²-1) — покроковий відеоурок