Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ВекториЛінійна алгебраУніверситет≈ 0:41

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 0, 1⟩ та ⟨0, 1, 1⟩

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: u · v = 1, кут ≈ 60°.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 0, 1⟩ та ⟨0, 1, 1⟩

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 0, 1⟩ та ⟨0, 1, 1⟩
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. (1)(0)+(0)(1)+(1)(1)(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)
      Перемножуємо відповідні координати
    2. uv=0+0+1=1u v = 0 + 0 + 1 = 1
      Додаємо добутки
    3. ∣u∣=2=2≈1.414213562,∣v∣=2=2≈1.414213562|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562
      Знаходимо довжини
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=12≈0.5⇒θ≈60° (1.0471976 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ рад})
      Кут між векторами
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈0.70710678,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨0,12,12⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle
      Скалярна й векторна проєкції u на v
  4. 4. Відповідь
    uv=1u v = 1

    u·v = 1

  5. 5. Перевірка
    • Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v·u дає те саме значення.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 0, 1⟩ та ⟨0, 1, 1⟩. Скалярний добуток двох 3-вимірних векторів.

Кроки, частина 1. Перемножуємо відповідні координати. Додаємо добутки. Знаходимо довжини. Кут між векторами.

Кроки, частина 2. Скалярна й векторна проєкції u на v.

Відповідь. Отже, відповідь: u помножити на v дорівнює 1, кут приблизно 60°. Скалярний добуток додатний, тому кут між векторами гострий.

Перевірка. Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v помножити на u дає те саме значення.

Схожі уроки

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 0, 1⟩ та ⟨0, 1, 1⟩ — покроковий відеоурок