Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ВекториЛінійна алгебраУніверситет≈ 0:43

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 2, 3⟩ та ⟨4, -5, 6⟩

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: u · v = 12, кут ≈ 68.562447°.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 2, 3⟩ та ⟨4, -5, 6⟩

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 2, 3⟩ та ⟨4, -5, 6⟩
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. (1)(4)+(2)(−5)+(3)(6)(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)
      Перемножуємо відповідні координати
    2. uv=4−10+18=12u v = 4 - 10 + 18 = 12
      Додаємо добутки
    3. ∣u∣=14=14≈3.741657387,∣v∣=77=77≈8.774964387|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387
      Знаходимо довжини
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=1232.83291≈0.36548694⇒θ≈68.562447° (1.1966404 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ рад})
      Кут між векторами
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈1.3675269,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨4877,−6077,7277⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle
      Скалярна й векторна проєкції u на v
  4. 4. Відповідь
    uv=12u v = 12

    u·v = 12

  5. 5. Перевірка
    • Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v·u дає те саме значення.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 2, 3⟩ та ⟨4, мінус 5, 6⟩. Скалярний добуток двох 3-вимірних векторів.

Кроки, частина 1. Перемножуємо відповідні координати. Додаємо добутки. Знаходимо довжини. Кут між векторами.

Кроки, частина 2. Скалярна й векторна проєкції u на v.

Відповідь. Отже, відповідь: u помножити на v дорівнює 12, кут приблизно 68.562447°. Скалярний добуток додатний, тому кут між векторами гострий.

Перевірка. Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v помножити на u дає те саме значення.

Схожі уроки

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨1, 2, 3⟩ та ⟨4, -5, 6⟩ — покроковий відеоурок