Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ВекториЛінійна алгебраУніверситет≈ 0:42

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨2, -1⟩ та ⟨1, 3⟩

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: u · v = -1, кут ≈ 98.130102°.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨2, -1⟩ та ⟨1, 3⟩

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨2, -1⟩ та ⟨1, 3⟩
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. (2)(1)+(−1)(3)(2)(1) + (-1)(3)
      Перемножуємо відповідні координати
    2. uv=2−3=−1u v = 2 - 3 = -1
      Додаємо добутки
    3. ∣u∣=5=5≈2.236067977,∣v∣=10=10≈3.16227766|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766
      Знаходимо довжини
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−17.0710678≈−0.14142136⇒θ≈98.130102° (1.7126934 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ рад})
      Кут між векторами
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.31622777,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−110,−310⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle
      Скалярна й векторна проєкції u на v
  4. 4. Відповідь
    uv=−1u v = -1

    u·v = -1

  5. 5. Перевірка
    • Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v·u дає те саме значення.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨2, мінус 1⟩ та ⟨1, 3⟩. Скалярний добуток двох 2-вимірних векторів.

Кроки, частина 1. Перемножуємо відповідні координати. Додаємо добутки. Знаходимо довжини. Кут між векторами.

Кроки, частина 2. Скалярна й векторна проєкції u на v.

Відповідь. Отже, відповідь: u помножити на v дорівнює мінус 1, кут приблизно 98.130102°. Скалярний добуток від штрих ємний, тому кут між векторами тупий.

Перевірка. Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v помножити на u дає те саме значення.

Схожі уроки

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨2, -1⟩ та ⟨1, 3⟩ — покроковий відеоурок