Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ВекториЛінійна алгебраУніверситет≈ 0:43

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨5, 2, -1⟩ та ⟨1, -3, 4⟩

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: u · v = -5, кут ≈ 100.31319°.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨5, 2, -1⟩ та ⟨1, -3, 4⟩

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨5, 2, -1⟩ та ⟨1, -3, 4⟩
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. (5)(1)+(2)(−3)+(−1)(4)(5)(1) + (2)(-3) + (-1)(4)
      Перемножуємо відповідні координати
    2. uv=5−6−4=−5u v = 5 - 6 - 4 = -5
      Додаємо добутки
    3. ∣u∣=30=30≈5.477225575,∣v∣=26=26≈5.099019514|u| = \sqrt{30} = \sqrt{30} \approx 5.477225575,\quad |v| = \sqrt{26} = \sqrt{26} \approx 5.099019514
      Знаходимо довжини
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−527.92848≈−0.17902872⇒θ≈100.31319° (1.7507955 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-5}{27.92848} \approx -0.17902872 \Rightarrow \theta \approx 100.31319° \ (1.7507955\text{ рад})
      Кут між векторами
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.98058068,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−526,1526,−1013⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.98058068,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{5}{26}, \frac{15}{26}, -\frac{10}{13} \rangle
      Скалярна й векторна проєкції u на v
  4. 4. Відповідь
    uv=−5u v = -5

    u·v = -5

  5. 5. Перевірка
    • Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v·u дає те саме значення.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨5, 2, мінус 1⟩ та ⟨1, мінус 3, 4⟩. Скалярний добуток двох 3-вимірних векторів.

Кроки, частина 1. Перемножуємо відповідні координати. Додаємо добутки. Знаходимо довжини. Кут між векторами.

Кроки, частина 2. Скалярна й векторна проєкції u на v.

Відповідь. Отже, відповідь: u помножити на v дорівнює мінус 5, кут приблизно 100.31319°. Скалярний добуток від штрих ємний, тому кут між векторами тупий.

Перевірка. Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v помножити на u дає те саме значення.

Схожі уроки

Знайдіть скалярний добуток та кут між ⟨5, 2, -1⟩ та ⟨1, -3, 4⟩ — покроковий відеоурок