Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
МатриціЛінійна алгебраУніверситет≈ 1:11

Знайдіть власні значення матриці [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: λ = 11, 2, 1.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть власні значення матриці [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть власні значення матриці [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      Складаємо характеристичне рівняння
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      Характеристичний многочлен
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      Власні вектори для λ = 11: розв'язуємо (A − λI)v = 0
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      Власні вектори для λ = 2: розв'язуємо (A − λI)v = 0
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      Власні вектори для λ = 1: розв'язуємо (A − λI)v = 0
  4. 4. Відповідь
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. Перевірка
    • Сума власних значень ≈ 14 дорівнює сліду 14.
    • Добуток власних значень дорівнює визначнику 22.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть власні значення матриці [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]. Знаходимо власні значення й власні вектори матриці 3 помножити на 3.

Кроки, частина 1. Складаємо характеристичне рівняння. Характеристичний многочлен. Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені. Власні вектори для λ дорівнює 11: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0.

Кроки, частина 2. Власні вектори для λ дорівнює 2: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0. Власні вектори для λ дорівнює 1: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0.

Відповідь. Отже, відповідь: λ дорівнює 11, 2, 1. Власні значення — корені характеристичного многочлена. Власні вектори: λ дорівнює 11: ⟨0, 1, 2⟩; λ дорівнює 2: ⟨1, 0, 0⟩; λ дорівнює 1: ⟨0, мінус 2, 1⟩.

Перевірка. Сума власних значень приблизно 14 дорівнює сліду 14. Добуток власних значень дорівнює визначнику 22.

Схожі уроки

Знайдіть власні значення матриці [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9] — покроковий відеоурок