Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
МатриціЛінійна алгебраУніверситет≈ 1:02

Знайдіть власні значення матриці [5 4; 1 2]

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: λ = 6, 1.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть власні значення матриці [5 4; 1 2]

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть власні значення матриці [5 4; 1 2]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[5412]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}
      Складаємо характеристичне рівняння
    2. λ2−(7)λ+(6)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (6) = 0
      Для матриці 2×2 воно має вигляд λ² − (слід)λ + визначник
    3. p(λ)=λ2−7λ+6p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 6
      Характеристичний многочлен
    4. λ=1, λ=6\lambda = 1,\ \lambda = 6
      Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. [−141−4] v=0⇒v=⟨4,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 1 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 4, 1 \rangle
      Власні вектори для λ = 6: розв'язуємо (A − λI)v = 0
    2. [4411] v=0⇒v=⟨−1,1⟩\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1 \rangle
      Власні вектори для λ = 1: розв'язуємо (A − λI)v = 0
  4. 4. Відповідь
    λ=6, 1\lambda = 6,\ 1

    p(λ) roots: 6, 1

  5. 5. Перевірка
    • Сума власних значень ≈ 7 дорівнює сліду 7.
    • Добуток власних значень дорівнює визначнику 6.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть власні значення матриці [5 4; 1 2]. Знаходимо власні значення й власні вектори матриці 2 помножити на 2.

Кроки, частина 1. Складаємо характеристичне рівняння. Для матриці 2 помножити на 2 воно має вигляд λ у квадраті мінус (слід)λ плюс визначник. Характеристичний многочлен. Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені.

Кроки, частина 2. Власні вектори для λ дорівнює 6: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0. Власні вектори для λ дорівнює 1: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0.

Відповідь. Отже, відповідь: λ дорівнює 6, 1. Власні значення — корені характеристичного многочлена. Власні вектори: λ дорівнює 6: ⟨4, 1⟩; λ дорівнює 1: ⟨-1, 1⟩.

Перевірка. Сума власних значень приблизно 7 дорівнює сліду 7. Добуток власних значень дорівнює визначнику 6.

Схожі уроки

Знайдіть власні значення матриці [5 4; 1 2] — покроковий відеоурок