Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
МатриціЛінійна алгебраУніверситет≈ 1:01

Знайдіть власні значення матриці [6 -2; 2 1]

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: λ = 5, 2.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть власні значення матриці [6 -2; 2 1]

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть власні значення матриці [6 -2; 2 1]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[6−221]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}6 & -2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}
      Складаємо характеристичне рівняння
    2. λ2−(7)λ+(10)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0
      Для матриці 2×2 воно має вигляд λ² − (слід)λ + визначник
    3. p(λ)=λ2−7λ+10p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10
      Характеристичний многочлен
    4. λ=2, λ=5\lambda = 2,\ \lambda = 5
      Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. [1−22−4] v=0⇒v=⟨2,1⟩\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 2 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 2, 1 \rangle
      Власні вектори для λ = 5: розв'язуємо (A − λI)v = 0
    2. [4−22−1] v=0⇒v=⟨1,2⟩\begin{bmatrix}4 & -2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 2 \rangle
      Власні вектори для λ = 2: розв'язуємо (A − λI)v = 0
  4. 4. Відповідь
    λ=5, 2\lambda = 5,\ 2

    p(λ) roots: 5, 2

  5. 5. Перевірка
    • Сума власних значень ≈ 7 дорівнює сліду 7.
    • Добуток власних значень дорівнює визначнику 10.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть власні значення матриці [6 мінус 2; 2 1]. Знаходимо власні значення й власні вектори матриці 2 помножити на 2.

Кроки, частина 1. Складаємо характеристичне рівняння. Для матриці 2 помножити на 2 воно має вигляд λ у квадраті мінус (слід)λ плюс визначник. Характеристичний многочлен. Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені.

Кроки, частина 2. Власні вектори для λ дорівнює 5: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0. Власні вектори для λ дорівнює 2: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0.

Відповідь. Отже, відповідь: λ дорівнює 5, 2. Власні значення — корені характеристичного многочлена. Власні вектори: λ дорівнює 5: ⟨2, 1⟩; λ дорівнює 2: ⟨1, 2⟩.

Перевірка. Сума власних значень приблизно 7 дорівнює сліду 7. Добуток власних значень дорівнює визначнику 10.

Схожі уроки

Знайдіть власні значення матриці [6 -2; 2 1] — покроковий відеоурок