Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
МатриціЛінійна алгебраУніверситет≈ 1:07

Знайдіть власні значення матриці [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: λ = 3, 3, 1.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Оригінальна задача (англійською): Знайдіть власні значення матриці [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    Знайдіть власні значення матриці [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Складаємо характеристичне рівняння
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      Характеристичний многочлен
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      Власні вектори для λ = 3: розв'язуємо (A − λI)v = 0
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      Власні вектори для λ = 1: розв'язуємо (A − λI)v = 0
  4. 4. Відповідь
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. Перевірка
    • Сума власних значень ≈ 7 дорівнює сліду 7.
    • Добуток власних значень дорівнює визначнику 9.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть власні значення матриці [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]. Знаходимо власні значення й власні вектори матриці 3 помножити на 3.

Кроки, частина 1. Складаємо характеристичне рівняння. Характеристичний многочлен. Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені. Власні вектори для λ дорівнює 3: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0. Алгебраїчна кратність 2, геометрична кратність 2.

Кроки, частина 2. Власні вектори для λ дорівнює 1: розв штрих язуємо (A мінус λI)v дорівнює 0.

Відповідь. Отже, відповідь: λ дорівнює 3, 3, 1. Власні значення — корені характеристичного многочлена. Власні вектори: λ дорівнює 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩; λ дорівнює 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

Перевірка. Сума власних значень приблизно 7 дорівнює сліду 7. Добуток власних значень дорівнює визначнику 9.

Схожі уроки

Знайдіть власні значення матриці [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3] — покроковий відеоурок