Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 0:50

Інтегруйте 1/(x(x + 1)) dx

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: ln(abs(x)) - ln(abs(x + 1)) + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫1x(x+1) dx\int \frac{1}{x \left( x+1\right)}\,dx
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∫1x(x+1) dx\int \frac{1}{x \left( x+1\right)}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. ∫1x(x+1) dx=ln⁡(∣x∣)−ln⁡(∣x+1∣)\int \frac{1}{x \left( x+1\right)}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)-\ln\left(\left| x+1\right|\right)
      Метод невизначених коефіцієнтів: розкладемо 1/((x − r₁)(x − r₂)) на A/(x − r₁) + B/(x − r₂)
    3. ∫1x(x+1) dx=ln⁡(∣x∣)−ln⁡(∣x+1∣)+C\int \frac{1}{x \left( x+1\right)}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)-\ln\left(\left| x+1\right|\right) + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  3. 3. Відповідь
    ln⁡(∣x∣)−ln⁡(∣x+1∣)+C\ln\left(\left| x\right|\right)-\ln\left(\left| x+1\right|\right) + C

    ∫ 1 / (x(x + 1)) dx = ln(abs(x)) - ln(abs(x + 1)) + C

  4. 4. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте 1/(x(x плюс 1)) dx. Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) від 1 / (x(x плюс 1)) за змінною x.

Крок за кроком. Записуємо інтеграл. Метод невизначених коефіцієнтів: розкладемо 1/((x мінус r₁)(x мінус r₂)) на A/(x мінус r₁) плюс B/(x мінус r₂). Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: ln(abs(x)) мінус ln(abs(x плюс 1)) плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Інтегруйте 1/(x(x + 1)) dx — покроковий відеоурок