Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 0:59

Інтегруйте x √(x² + 1)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: (x² + 1)^(3/2) / 3 + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫xx2+1 dx\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ∫xx2+1 dx\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. ∫xx2+1 dx=12∫u du\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du
      Підставляємо u = x² + 1, отже du = (2x) dx
    3. ∫u du=u32⋅23\int \sqrt{u}\,du = \frac{{u}^{\frac{3}{2}}\cdot2}{3}
      ∫ √u du = (2/3)u^(3/2)
    4. ∫xx2+1 dx=(x2+1)323\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}
      Підставляємо назад u = x² + 1
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫xx2+1 dx=(x2+1)323+C\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  4. 4. Відповідь
    (x2+1)323+C\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

    ∫ x sqrt(x² + 1) dx = (x² + 1)^(3/2) / 3 + C

  5. 5. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте x sqrt(x у квадраті плюс 1). Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) x sqrt(x у квадраті плюс 1) за x.

Кроки, частина 1. Записуємо інтеграл. Підставляємо u дорівнює x у квадраті плюс 1, отже du дорівнює (2x) dx. інтеграл від квадратний корінь з u du дорівнює (2 поділити на 3)u у степені 3 поділити на 2). Підставляємо назад u дорівнює x у квадраті плюс 1.

Кроки, частина 2. Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: (x у квадраті плюс 1) у степені 3 поділити на 2) / 3 плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Інтегруйте x √(x² + 1) — покроковий відеоурок