Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Визначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:03

Інтегруйте x/(x²+1) від 0 до 1

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: 0.3465735903.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫01xx2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∫01xx2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx
      Записуємо визначений інтеграл
    2. ∫xx2+1 dx=ln⁡(∣x2+1∣)2\int \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)}{2}
      Правило логарифма: чисельник є сталою, помноженою на похідну знаменника, ∫ u′/u dx = ln|u|
    3. F(x)=ln⁡(∣x2+1∣)2F(x) = \frac{\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)}{2}
      Первісна
    4. F(1)−F(0)=0.3465735903−0=0.3465735903F(1) - F(0) = 0.3465735903 - 0 = 0.3465735903
      Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца
  3. 3. Відповідь
    ∫01xx2+1 dx=0.3465735903\int_{0}^{1} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx = 0.3465735903

    ∫ from 0 to 1 = 0.3465735903

  4. 4. Перевірка
    • Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією ✓
    • Адаптивний метод Сімпсона дає 0.3465735903 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте x/(x у квадраті плюс 1) від 0 до 1. Обчислимо визначений інтеграл від x / (x у квадраті плюс 1) на проміжку від x дорівнює 0 до x дорівнює 1.

Крок за кроком. Записуємо визначений інтеграл. Правило логарифма: чисельник є сталою, помноженою на похідну знаменника, інтеграл від u штрих /u dx дорівнює ln|u|. Первісна. Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца.

Відповідь. Отже, відповідь: 0.3465735903. Визначений інтеграл дає орієнтовану площу між кривою та віссю x: площа над віссю вважається додатною, а під віссю — від штрих ємною.

Перевірка. Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією, що правильно. Адаптивний метод Сімпсона дає 0.3465735903, що правильно.

Схожі уроки

Інтегруйте x/(x²+1) від 0 до 1 — покроковий відеоурок