Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Визначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:09

Інтегруйте x³-2x від 0 до 4

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: 48.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫04x3−2x dx\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ∫04x3−2x dx\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx
      Записуємо визначений інтеграл
    2. ∫x3 dx=x44\int {x}^{3}\,dx = \frac{{x}^{4}}{4}
      Інтеграл степеня: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    3. ∫x dx=x22\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}
      Інтеграл степеня: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫2x dx=x2\int 2x\,dx = {x}^{2}
      Винесення сталого множника: ∫ k·f dx = k∫ f dx
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫x3−2x dx=x44−x2\int {x}^{3}-2x\,dx = \frac{{x}^{4}}{4}-{x}^{2}
      Правило суми: інтегруємо почленно
    2. F(x)=x44−x2F(x) = \frac{{x}^{4}}{4}-{x}^{2}
      Первісна
    3. F(4)−F(0)=48−0=48F(4) - F(0) = 48 - 0 = 48
      Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца
  4. 4. Відповідь
    ∫04x3−2x dx=48\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx = 48

    ∫ from 0 to 4 = 48

  5. 5. Перевірка
    • Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією ✓
    • Адаптивний метод Сімпсона дає 48 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте x у кубі мінус 2x від 0 до 4. Обчислимо визначений інтеграл від x у кубі мінус 2 x на проміжку від x дорівнює 0 до x дорівнює 4.

Кроки, частина 1. Записуємо визначений інтеграл. Інтеграл степеня: інтеграл від x у степені n dx дорівнює x у степені n плюс 1/(n плюс 1). Інтеграл степеня: інтеграл від x у степені n dx дорівнює x у степені n плюс 1/(n плюс 1). Винесення сталого множника: інтеграл від k помножити на f dx дорівнює k інтеграл від f dx.

Кроки, частина 2. Правило суми: інтегруємо почленно. Первісна. Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца.

Відповідь. Отже, відповідь: 48. Визначений інтеграл дає орієнтовану площу між кривою та віссю x: площа над віссю вважається додатною, а під віссю — від штрих ємною.

Перевірка. Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією, що правильно. Адаптивний метод Сімпсона дає 48, що правильно.

Схожі уроки

Інтегруйте x³-2x від 0 до 4 — покроковий відеоурок