Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
МатриціЛінійна алгебраУніверситет≈ 0:49

Обернена матриця до [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    [123014560]−1\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. det⁡A=1≠0\det A = 1 \neq 0
      Перевіряємо, що визначник не дорівнює нулю
    2. [123100014010560001]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Записуємо розширену матрицю [A | I]
    3. R3→R3−5R1: [1231000140100−4−15−501]R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Зануляємо стовпець 1 за допомогою ведучого елемента в R1
    4. R1→R1−2R2, R3→R3+4R2: [10−51−20014010001−541]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Зануляємо стовпець 2 за допомогою ведучого елемента в R2
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. R1→R1+5R3, R2→R2−4R3: [100−2418501020−15−4001−541]R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Зануляємо стовпець 3 за допомогою ведучого елемента в R3
    2. A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Права половина тепер — обернена матриця
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Перевірка: A·A⁻¹ = I
  4. 4. Відповідь
    A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]

  5. 5. Перевірка
    • Множення A на результат дає точно одиничну матрицю.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Обернена матриця до [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]. Знаходимо обернену до матриці 3 помножити на 3.

Кроки, частина 1. Перевіряємо, що визначник не дорівнює нулю. Записуємо розширену матрицю [A | I]. Зануляємо стовпець 1 за допомогою ведучого елемента в R1. Зануляємо стовпець 2 за допомогою ведучого елемента в R2.

Кроки, частина 2. Зануляємо стовпець 3 за допомогою ведучого елемента в R3. Права половина тепер — обернена матриця. Перевірка: A помножити на A у степені мінус 1 дорівнює I.

Відповідь. Отже, відповідь: A у степені мінус 1 дорівнює [[-24, 18, 5], [20, мінус 15, мінус 4], [-5, 4, 1]]. Визначник дорівнює 1, тому A оборотна. Усі елементи оберненої матриці точні.

Перевірка. Множення A на результат дає точно одиничну матрицю.

Схожі уроки

Обернена матриця до [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] — покроковий відеоурок