数列与级数代数大学≈ 2:45

计算 1/(2n-1)(2n+1) 从 n=1 到 ∞ 的和

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1. 题目
例题讲解
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}$
2. 逐步讲解
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}$
  写出级数
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} = 0$
  通项判别法
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{1}{4}$
  与 p 级数作极限比较
4. 数值估计和
3. 答案
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} \ \text{收敛} \approx 0.5$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.5 (matches 1/2 to 10+ digits)
4. 检验
- 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = 0.47619048，S₁₀₀ = 0.49751244，S₁₀₀₀ = 0.49975012，S₁₀₀₀₀ = 0.499975

文字稿

题目. 题目是：计算 1/(2n 减 1)(2n 加 1) 从 n 等于 1 到无穷大的和. 判断从 1 到 ∞) 的 Σ 1 / (2 n 减 1) (2 n 加 1) (n 收敛还是发散。

逐步讲解. 写出级数. Σ a(n)，其中 n 等于 1, 2, 3, …，a(n) 等于 1 / (2 n 减 1) (2 n 加 1)。前几项：0.333333, 0.0666667, 0.0285714, 0.015873, …. 通项判别法. lim a(n) 等于 0，所以发散判别法无法得出结论；各项确实在减小，因此需要更精细的判别法。与 p 级数作极限比较. 正项：各项大致按 1/n 的平方的速度减小（由 a(2N)/a(N)) 估计，所以与 Σ 1/n 的平方比较：lim a(n) 乘 n 的平方等于 1 除以 4。该极限是一个有限的正数，所以该级数的敛散性与 p 级数 Σ 1/n 的平方完全相同，而后者收敛，因为 p 大于 1。数值估计和. 对若干 N 计算部分和 S N，并外推到 N → ∞（理查森外推；交错项先取相邻部分和的平均）。两次独立外推的差小于 10 的减 10 次方，得到 S 约等于 0.5。所示的封闭形式只是数值辨识，并非证明。

答案. 所以答案是级数收敛 (极限比较法，比较对象为 Σ 1/n 的平方); 和约等于 0.5 (匹配 1 除以 2 精确到10位以上). 当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

检验. 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ 等于 0.47619048，S₁₀₀ 等于 0.49751244，S₁₀₀₀ 等于 0.49975012，S₁₀₀₀₀ 等于 0.499975.

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