数列与级数代数大学≈ 3:06

计算 (-1)ⁿ/n 从 n=1 到 ∞ 的和

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: 级数条件收敛 (交错级数判别法); 和 ≈ -0.6931471806 (匹配 −ln(2) 精确到10位以上).

倍速语言

章节

文字稿

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

英语视频：下载 MP4 (1.1 MB) · 字幕 (WebVTT)：中文 · 英语字幕 (WebVTT)

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. 步骤，第1部分
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  写出级数
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  通项判别法
3. 交错级数判别法
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  与 p 级数作极限比较
3. 步骤，第2部分
1. 绝对收敛还是条件收敛？
2. 数值估计和
4. 答案
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{条件收敛} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. 检验
- 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = -0.64563492，S₁₀₀ = -0.68817218，S₁₀₀₀ = -0.69264743，S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

文字稿

题目. 题目是：计算 (负 1) 的 n 次方/n 从 n 等于 1 到无穷大的和. 判断从 1 到 ∞) 的 Σ (负 1) 的 n 次方 / n (n 收敛还是发散。

步骤，第1部分. 写出级数. Σ a(n)，其中 n 等于 1, 2, 3, …，a(n) 等于 (负 1) 的 n 次方 / n。前几项：-1, 0.5, 负 0.333333, 0.25, …. 通项判别法. lim |a(n)| 等于 0，所以发散判别法无法得出结论；各项确实在减小，因此需要更精细的判别法。交错级数判别法. 符号正负交替，且绝对值 b(n) 等于 1 / n 递减（在不超过 10 的 6 次方) 的 310 个下标上检验过）并趋于 0，所以该级数收敛。与 p 级数作极限比较. 绝对值级数 Σ 1 / n：各项大致按 1/n 的速度减小（由 a(2N)/a(N)) 估计，所以与 Σ 1/n 比较：lim a(n) 乘 n 等于 1。该极限是一个有限的正数，所以该级数的敛散性与 p 级数 Σ 1/n 完全相同，而后者发散，因为 p 小于等于 1。

步骤，第2部分. 绝对收敛还是条件收敛？. Σ |a(n)| 发散（与 Σ 1/n) 作极限比较，所以该级数只是条件收敛。数值估计和. 对若干 N 计算部分和 S N，并外推到 N → ∞（理查森外推；交错项先取相邻部分和的平均）。两次独立外推的差小于 10 的减 10 次方，得到 S 约等于负 0.6931471806。所示的封闭形式只是数值辨识，并非证明。

答案. 所以答案是级数条件收敛 (交错级数判别法); 和约等于负 0.6931471806 (匹配负 ln(2) 精确到10位以上). 当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

检验. 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ 等于负 0.64563492，S₁₀₀ 等于负 0.68817218，S₁₀₀₀ 等于负 0.69264743，S₁₀₀₀₀ 等于负 0.69309718.

屏幕上的步骤

文字稿

相关课程