极限微积分大学≈ 2:54

求 lim x→0 (1 + x)^(1/x)

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}$
2. 步骤，第1部分
1. $\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}$
  未定式 1^∞：取对数
2. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}$
  未定式 0·∞：改写成商
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}$
  化简
3. 步骤，第2部分
1. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1$
  直接代入
2. $\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e$
  对结果取指数
4. 答案
$\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828$
lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828
5. 检验
- 右侧的数值结果一致：f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
- 左侧的数值结果一致：f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 (1 加 x) 的 1 次方/x). 求 (1 加 x) 的 1 次方 / x) 当 x → 0 时的极限。

步骤，第1部分. 未定式 1^∞：取对数. 把幂写成 e^(指数乘 ln 底数)；由于 eᵘ 连续，极限等于 e 的指数极限次幂。未定式 0 乘 ∞：改写成商. 把一个因子以倒数形式移到分母，就把 0 乘 ∞ 变成 0 除以 0 或 ∞/∞。未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简.

步骤，第2部分. 直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。对结果取指数.

答案. 所以答案是极限等于 e 约等于 2.718281828. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 右侧的数值结果一致：f(0.01) 等于 2.7048138, f(0.001) 等于 2.7169239, f(0.0001) 等于 2.7181459, f(0.00001) 等于 2.7182682，验证成立. 左侧的数值结果一致：f(负 0.01) 等于 2.731999, f(负 0.001) 等于 2.7196422, f(负 0.0001) 等于 2.7184178, f(负 0.00001) 等于 2.7182954，验证成立.

屏幕上的步骤

文字稿

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