线性回归统计与概率大学≈ 1:24

求 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 和 y = 52, 58, 61, 67, 70, 78 的最小二乘回归线

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原题（英语）：求 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 和 y = 52, 58, 61, 67, 70, 78 的最小二乘回归线

1. 题目
例题讲解
求 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 和 y = 52, 58, 61, 67, 70, 78 的最小二乘回归线
2. 步骤，第1部分
1. $\bar x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \approx 3.5,\quad \bar y = \frac{386}{6} = \frac{193}{3} \approx 64.3333$
  x 和 y 的均值
2. $S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = \frac{35}{2} \approx 17.5,\quad S_{yy} = \frac{1288}{3} \approx 429.333,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = 86$
  均值附近的平方和与交叉乘积
3. $b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{172}{35} \approx 4.91429$
  斜率
4. $a = \bar y - b\bar x = \frac{707}{15} \approx 47.1333$
  截距：直线经过均值点
3. 步骤，第2部分
1. $\hat y = \frac{707}{15} + \frac{172}{35}x$
  回归直线
2. $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx 0.992161,\quad r^2 \approx 0.984383$
  相关系数与判定系数
4. 答案
$\hat y = \frac{707}{15} + \frac{172}{35}x$
b = 172/35 ≈ 4.91429, a = 707/15 ≈ 47.1333
5. 检验
- 残差和为 0，最小二乘法直线必须满足此条件。

题目. 题目是：求 x 等于 1, 2, 3, 4, 5, 6 和 y 等于 52, 58, 61, 67, 70, 78 的最小二乘回归线. 拟合直线 ŷ 等于 a 加 bx，使数据点到直线的垂直距离平方和最小，并用 r 和 r 的平方衡量拟合优度。

步骤，第1部分. x 和 y 的均值. 均值附近的平方和与交叉乘积. 斜率. 截距：直线经过均值点.

步骤，第2部分. 回归直线. 相关系数与判定系数. 强正线性相关；y 中约百分之 98.44 的变异可由该直线解释。

答案. 所以答案是 ŷ 等于 707 除以 15 加 (172 除以 35)x; r 约等于 0.992161, r 的平方约等于 0.984383. 斜率表示 x 每增加一个单位时 y 的预测变化量。相关系数衡量线性关系的强度，而非 x 是否导致 y。

检验. 残差和为 0，最小二乘法直线必须满足此条件。