线性回归统计与概率大学≈ 1:22

求 x = 10, 20, 30, 40, 50 和 y = 48, 41, 35, 30, 22 的最小二乘回归线

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原题（英语）：求 x = 10, 20, 30, 40, 50 和 y = 48, 41, 35, 30, 22 的最小二乘回归线

1. 题目
例题讲解
求 x = 10, 20, 30, 40, 50 和 y = 48, 41, 35, 30, 22 的最小二乘回归线
2. 步骤，第1部分
1. $\bar x = \frac{150}{5} = 30,\quad \bar y = \frac{176}{5} = \frac{176}{5} \approx 35.2$
  x 和 y 的均值
2. $S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = 1000,\quad S_{yy} = \frac{1994}{5} \approx 398.8,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = -630$
  均值附近的平方和与交叉乘积
3. $b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = -\frac{63}{100} \approx -0.63$
  斜率
4. $a = \bar y - b\bar x = \frac{541}{10} \approx 54.1$
  截距：直线经过均值点
3. 步骤，第2部分
1. $\hat y = \frac{541}{10} - \frac{63}{100}x$
  回归直线
2. $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx -0.997615,\quad r^2 \approx 0.995236$
  相关系数与判定系数
4. 答案
$\hat y = \frac{541}{10} - \frac{63}{100}x$
b = -63/100 ≈ -0.63, a = 541/10 ≈ 54.1
5. 检验
- 残差和为 0，最小二乘法直线必须满足此条件。

题目. 题目是：求 x 等于 10, 20, 30, 40, 50 和 y 等于 48, 41, 35, 30, 22 的最小二乘回归线. 拟合直线 ŷ 等于 a 加 bx，使数据点到直线的垂直距离平方和最小，并用 r 和 r 的平方衡量拟合优度。

步骤，第1部分. x 和 y 的均值. 均值附近的平方和与交叉乘积. 斜率. 截距：直线经过均值点.

步骤，第2部分. 回归直线. 相关系数与判定系数. 强负线性相关；y 中约百分之 99.52 的变异可由该直线解释。

答案. 所以答案是 ŷ 等于 541 除以 10 减 (63 除以 100)x; r 约等于负 0.997615, r 的平方约等于 0.995236. 斜率表示 x 每增加一个单位时 y 的预测变化量。相关系数衡量线性关系的强度，而非 x 是否导致 y。

检验. 残差和为 0，最小二乘法直线必须满足此条件。