线性回归统计与概率大学≈ 1:15

求 x = 2, 4, 6, 8 和 y = 3, 7, 8, 12 的最小二乘回归线

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原题（英语）：求 x = 2, 4, 6, 8 和 y = 3, 7, 8, 12 的最小二乘回归线

1. 题目
例题讲解
求 x = 2, 4, 6, 8 和 y = 3, 7, 8, 12 的最小二乘回归线
2. 步骤，第1部分
1. $\bar x = \frac{20}{4} = 5,\quad \bar y = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \approx 7.5$
  x 和 y 的均值
2. $S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = 20,\quad S_{yy} = 41,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = 28$
  均值附近的平方和与交叉乘积
3. $b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{7}{5} \approx 1.4$
  斜率
4. $a = \bar y - b\bar x = \frac{1}{2} \approx 0.5$
  截距：直线经过均值点
3. 步骤，第2部分
1. $\hat y = \frac{1}{2} + \frac{7}{5}x$
  回归直线
2. $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx 0.977802,\quad r^2 \approx 0.956098$
  相关系数与判定系数
4. 答案
$\hat y = \frac{1}{2} + \frac{7}{5}x$
b = 7/5 ≈ 1.4, a = 1/2 ≈ 0.5
5. 检验
- 残差和为 0，最小二乘法直线必须满足此条件。

题目. 题目是：求 x 等于 2, 4, 6, 8 和 y 等于 3, 7, 8, 12 的最小二乘回归线. 拟合直线 ŷ 等于 a 加 bx，使数据点到直线的垂直距离平方和最小，并用 r 和 r 的平方衡量拟合优度。

步骤，第1部分. x 和 y 的均值. 均值附近的平方和与交叉乘积. 斜率. 截距：直线经过均值点.

步骤，第2部分. 回归直线. 相关系数与判定系数. 强正线性相关；y 中约百分之 95.61 的变异可由该直线解释。

答案. 所以答案是 ŷ 等于 1 除以 2 加 (7 除以 5)x; r 约等于 0.977802, r 的平方约等于 0.956098. 斜率表示 x 每增加一个单位时 y 的预测变化量。相关系数衡量线性关系的强度，而非 x 是否导致 y。

检验. 残差和为 0，最小二乘法直线必须满足此条件。