定积分微积分大学≈ 1:24

对 1/(x²+1) 从 0 到 ∞ 积分

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1. 题目
例题讲解
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. 这是一个反常积分
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  反正切形式：∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  原函数
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0$
  计算从 0 到 inf 的那一段
3. 步骤，第2部分
1. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
  把各段相加
4. 答案
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
Converges to π/2 ≈ 1.570796327
5. 检验
- 已通过求导验证原函数 ✓
- 原函数的每个极限都已由极限引擎计算并进行了数值检验 ✓
- 截断后的数值估计（在渐近线附近留出 10⁻⁶，无穷积分限截断于 ±1000）：1.5698

题目. 题目是：对 1/(x 的平方加 1) 从 0 到无穷大积分. 计算 1 / (x 的平方加 1) 从 0 到 inf 的反常积分。

步骤，第1部分. 这是一个反常积分. 它是反常积分，因为有一个积分限是无穷。它定义为一个极限，只有当每个极限都有限时才收敛。反正切形式：积分 du/(a 的平方加 u 的平方) 等于 (1/a) 乘 arctan(u/a). 原函数. 计算从 0 到 inf 的那一段.

步骤，第2部分. 把各段相加. 每个极限都有限，所以积分收敛。

答案. 所以答案是收敛: 派/2 约等于 1.570796327. 反常积分把出问题的点换成一个变量，按通常方法积分，再取极限。极限有限，就说明这个无限区域的面积仍然有限。

检验. 已通过求导验证原函数，验证成立. 原函数的每个极限都已由极限引擎计算并进行了数值检验，验证成立. 截断后的数值估计（在渐近线附近留出 10 的减 6 次方，无穷积分限截断于正负 1000）：1.5698.