三角恒等式三角学高中≈ 1:13

cot(x) + tan(x) = sec(x)csc(x) 是恒等式吗？

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1. 题目
例题讲解
$\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) = \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)$
2. 步骤，第1部分
1. $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
  把所有式子都化为 sin x 和 cos x
2. $\frac{1}{\sin x\cos x}$
  左边化为正弦和余弦
3. $\frac{1}{\sin x\cos x}$
  右边化为正弦和余弦
4. $\text{左边} - \text{右边} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
  两边相减，并把差通分写成一个分式
3. 步骤，第2部分
1. $N = 0$
  把每个 cos²x 换成 1 − sin²x，并合并同类项
2. 分子恒等于零
4. 答案
$\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) \equiv \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)$
LHS − RHS reduces to 0
5. 检验
- 在 10 个样本值处数值抽查：两边结果一致。

题目. 题目是：cot(x) 加 tan(x) 等于 sec(x)csc(x) 是恒等式吗？证明三角恒等式.

步骤，第1部分. 把所有式子都化为 sin x 和 cos x. 用到的恒等式：. 左边化为正弦和余弦. 右边化为正弦和余弦. 两边相减，并把差通分写成一个分式. 当且仅当这个分子对变量的每个取值都为零时，恒等式成立。

步骤，第2部分. 把每个 cos 的平方x 换成 1 减 sin 的平方x，并合并同类项. 分子恒等于零. 利用 sin 的平方加 cos 的平方等于 1 后所有项都消去了，所以两边在有意义的地方处处相等。

答案. 所以答案是该恒等式成立 (对于两侧均有定义的每一个值). 把两边都化成正弦和余弦，并把 cos 的平方换成 1 减 sin 的平方后，两边之差恰好为 0，所以 cot(x) 加 tan(x) 等于 sec(x)csc(x) 对所有使两边都有意义的 x 都成立。

检验. 在 10 个样本值处数值抽查：两边结果一致。