三角恒等式三角学高中≈ 1:15

cos(x)⁴ - sin(x)⁴ = cos(2x) 是恒等式吗？

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1. 题目
例题讲解
${\cos\left( x\right)}^{4}-{\sin\left( x\right)}^{4} = \cos\left(2x\right)$
2. 步骤，第1部分
1. $\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
  把所有式子都化为 sin x 和 cos x
2. $-2\sin^{2} x + 1$
  左边化为正弦和余弦
3. $-2\sin^{2} x + 1$
  右边化为正弦和余弦
4. $\text{左边} - \text{右边} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{4} x - \sin^{4} x - \cos^{2} x + \sin^{2} x$
  两边相减，并把差通分写成一个分式
3. 步骤，第2部分
1. $N = 0$
  把每个 cos²x 换成 1 − sin²x，并合并同类项
2. 分子恒等于零
4. 答案
${\cos\left( x\right)}^{4}-{\sin\left( x\right)}^{4} \equiv \cos\left(2x\right)$
LHS − RHS reduces to 0
5. 检验
- 在 10 个样本值处数值抽查：两边结果一致。

题目. 题目是：cos(x) 的 4 次方减 sin(x) 的 4 次方等于 cos(2x) 是恒等式吗？证明三角恒等式.

步骤，第1部分. 把所有式子都化为 sin x 和 cos x. 用到的恒等式：. 左边化为正弦和余弦. 右边化为正弦和余弦. 两边相减，并把差通分写成一个分式. 当且仅当这个分子对变量的每个取值都为零时，恒等式成立。

步骤，第2部分. 把每个 cos 的平方x 换成 1 减 sin 的平方x，并合并同类项. 分子恒等于零. 利用 sin 的平方加 cos 的平方等于 1 后所有项都消去了，所以两边在有意义的地方处处相等。

答案. 所以答案是该恒等式成立 (对于两侧均有定义的每一个值). 把两边都化成正弦和余弦，并把 cos 的平方换成 1 减 sin 的平方后，两边之差恰好为 0，所以 cos(x) 的 4 次方减 sin(x) 的 4 次方等于 cos(2x) 对所有使两边都有意义的 x 都成立。

检验. 在 10 个样本值处数值抽查：两边结果一致。