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Aufgabe lösen
Unbestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:13

Stammfunktion von sin(x)³

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: cos(x)³/3 - cos(x) + C.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
      Mit dem Integral beginnen
    2. sin3(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)0+−1sin⁡(x)cos⁡(x)2sin^{3}( x) = 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}+-1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}
      Ungerade Potenz: schreibe sin^3 u = sin u · (1 − cos² u)^1, dann u = cos substituieren
    3. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−1∫u0 du\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -1\int {u}^{0}\,du
      Substituiere u = cos(x), also du = (-sin(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−cos⁡(x)\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -\cos\left( x\right)
      Rücksubstitution u = cos(x)
    2. ∫−1sin⁡(x)cos⁡(x)2 dx=∫u2 du\int -1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}\,dx = \int {u}^{2}\,du
      Substituiere u = cos(x), also du = (-sin(x)) dx
    3. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right)
      Gliedweise integrieren
    4. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C
      Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren
  4. 4. Die Antwort
    cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C

    ∫ sin(x)³ dx = cos(x)³/3 - cos(x) + C

  5. 5. Probe
    • Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Stammfunktion von sin(x) hoch drei. Bestimme das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) von sin(x) hoch drei nach x.

Schritte, Teil 1. Mit dem Integral beginnen. Ungerade Potenz: schreibe sin hoch drei u gleich sin u mal (1 minus cos hoch zwei u) hoch 1, dann u gleich cos substituieren. Substituiere u gleich cos(x), also du gleich (minus sin(x)) dx. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1).

Schritte, Teil 2. Rücksubstitution u gleich cos(x). Substituiere u gleich cos(x), also du gleich (minus sin(x)) dx. Gliedweise integrieren. Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also cos(x) hoch drei/3 minus cos(x) plus C. Eine Stammfunktion F erfüllt F Strich von x gleich f(x). Da die Ableitung jeder Konstanten 0 ist, unterscheiden sich alle Stammfunktionen um eine Konstante C.

Probe. Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen, das stimmt.

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