Unbestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:13

Stammfunktion von (x + 1)/x

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int \frac{x+1}{x}\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int \frac{x+1}{x}\,dx$
  Mit dem Integral beginnen
2. $\frac{x+1}{x} = \frac{1}{x}+1$
  Jeden Term des Zählers durch den Nenner teilen
3. $\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Kehrwertregel: ∫ 1/x dx = ln|x|
4. $\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Faktorregel: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. Schritte, Teil 2
1. $\int {x}^{0}\,dx = x$
  Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
2. $\int 1{x}^{0}\,dx = x$
  Faktorregel: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. $\int 1{x}^{-1}+1{x}^{0}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x$
  Summenregel: gliedweise integrieren
4. $\int \frac{x+1}{x}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C$
  Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren
4. Die Antwort
$\ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C$
∫ (x + 1) / x dx = ln(abs(x)) + x + C
5. Probe
- Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Stammfunktion von (x plus 1)/x. Bestimme das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) von (x plus 1) / x nach x.

Schritte, Teil 1. Mit dem Integral beginnen. Jeden Term des Zählers durch den Nenner teilen. Kehrwertregel: das Integral von 1/x dx gleich ln|x|. Faktorregel: das Integral von k mal f dx gleich k das Integral von f dx.

Schritte, Teil 2. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1). Faktorregel: das Integral von k mal f dx gleich k das Integral von f dx. Summenregel: gliedweise integrieren. Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also ln(abs(x)) plus x plus C. Eine Stammfunktion F erfüllt F Strich von x gleich f(x). Da die Ableitung jeder Konstanten 0 ist, unterscheiden sich alle Stammfunktionen um eine Konstante C.

Probe. Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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