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Aufgabe lösen
Unbestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:01

Berechne ∫ eˣ cos(x) dx

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
      Mit dem Integral beginnen
    2. ∫eaxcos⁡bx dx=eax(acos⁡bx+bsin⁡bx)a2+b2\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}
      Zweimalige partielle Integration
    3. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2}
      Exponential × trigonometrisch (zweimalige partielle Integration)
    4. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C
      Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren
  3. 3. Die Antwort
    ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C

    ∫ e^x cos(x) dx = e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C

  4. 4. Probe
    • Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: das Integral von e hoch x cos(x) dx. Bestimme das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) von e hoch x cos(x) nach x.

Schritt für Schritt. Mit dem Integral beginnen. Zweimalige partielle Integration. Zweimalige partielle Integration führt zum ursprünglichen Integral I zurück, also I gleich e^ ax (a cos bx plus b sin bx)/(a hoch zwei plus b hoch zwei) mit einem gleich 1, b gleich 1. Exponential mal trigonometrisch (zweimalige partielle Integration). Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also e hoch x mal (cos(x) plus sin(x)) / 2 plus C. Eine Stammfunktion F erfüllt F Strich von x gleich f(x). Da die Ableitung jeder Konstanten 0 ist, unterscheiden sich alle Stammfunktionen um eine Konstante C.

Probe. Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen, das stimmt.

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