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Aufgabe lösen
Unbestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 0:53

Integriere 1/(x²-1)

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.3 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
      Mit dem Integral beginnen
    2. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2}
      Partialbruchzerlegung: 1/((x − r₁)(x − r₂)) in A/(x − r₁) + B/(x − r₂) aufteilen
    3. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C
      Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren
  3. 3. Die Antwort
    −ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C-\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C

    ∫ 1 / (x² - 1) dx = -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C

  4. 4. Probe
    • Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere 1/(x hoch zwei minus 1). Bestimme das unbestimmte Integral (Stammfunktion) von 1 / (x hoch zwei minus 1) nach x.

Schritt für Schritt. Mit dem Integral beginnen. Partialbruchzerlegung: 1/((x minus r₁)(x minus r₂)) in A/(x minus r₁) plus B/(x minus r₂) aufteilen. Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also -(ln(abs(x plus 1)) / 2) plus ln(abs(x minus 1)) / 2 plus C. Eine Stammfunktion F erfüllt F Strich von x gleich f(x). Da die Ableitung jeder Konstanten 0 ist, unterscheiden sich alle Stammfunktionen um eine Konstante C.

Probe. Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen, das stimmt.

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