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Aufgabe lösen
MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 0:50

Bestimme die Determinante von [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: det(A) = -2.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    det⁡[1201013220111111]\det \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. A=[1201013220111111]A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
      Die 4×4-Matrix einlesen
    2. Mit Zeilenumformungen auf obere Dreiecksform bringen
    3. [120101320−41−10−110]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Unter dem Pivotelement in Spalte 1 eliminieren (Addieren von Vielfachen einer Zeile ändert die Determinante nicht)
    4. [12010132001370042]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{bmatrix}
      Unter dem Pivotelement in Spalte 2 eliminieren (Addieren von Vielfachen einer Zeile ändert die Determinante nicht)
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. [1201013200137000−213]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{2}{13}\end{bmatrix}
      Unter dem Pivotelement in Spalte 3 eliminieren (Addieren von Vielfachen einer Zeile ändert die Determinante nicht)
    2. det⁡A=(1)(1)(13)(−213)=−2\det A = (1)(1)(13)(-\frac{2}{13}) = -2
      Die Diagonaleinträge der Dreiecksmatrix multiplizieren
  4. 4. Die Antwort
    det⁡A=−2\det A = -2

    det = -2

  5. 5. Probe
    • Exakt mit Brüchen berechnet; das gaußsche Eliminationsverfahren liefert denselben Wert -2.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Determinante von [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]. Die Determinante einer 4 mal 4-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Die 4 mal 4-Matrix einlesen. Mit Zeilenumformungen auf obere Dreiecksform bringen. Unter dem Pivotelement in Spalte 1 eliminieren (Addieren von Vielfachen einer Zeile ändert die Determinante nicht). Unter dem Pivotelement in Spalte 2 eliminieren (Addieren von Vielfachen einer Zeile ändert die Determinante nicht).

Schritte, Teil 2. Unter dem Pivotelement in Spalte 3 eliminieren (Addieren von Vielfachen einer Zeile ändert die Determinante nicht). Die Diagonaleinträge der Dreiecksmatrix multiplizieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also det(A) gleich minus 2. Die Determinante ist minus 2 und damit ungleich null: Die Matrix ist also invertierbar, und ihre Zeilen sind linear unabhängig.

Probe. Exakt mit Brüchen berechnet; das gaußsche Eliminationsverfahren liefert denselben Wert minus 2.

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Bestimme die Determinante von [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]: Videolektion Schritt für Schritt