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Aufgabe lösen
Unbestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 0:57

Integriere sec(x)²tan(x)

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: sec(x)²/2 + C.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ∫sec⁡(x)2tan⁡(x) dx\int {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)\,dx
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. ∫sec⁡(x)2tan⁡(x) dx\int {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)\,dx
      Mit dem Integral beginnen
    2. ∫sec⁡(x)2tan⁡(x) dx=∫u1 du\int {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)\,dx = \int {u}^{1}\,du
      Substituiere u = sec(x), also du = (sec(x)·tan(x)) dx
    3. ∫u1 du=u22\int {u}^{1}\,du = \frac{{u}^{2}}{2}
      Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫sec⁡(x)2tan⁡(x) dx=sec⁡(x)22\int {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)\,dx = \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{2}
      Rücksubstitution u = sec(x)
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. ∫sec⁡(x)2tan⁡(x) dx=sec⁡(x)22+C\int {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)\,dx = \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{2} + C
      Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren
  4. 4. Die Antwort
    sec⁡(x)22+C\frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{2} + C

    ∫ sec(x)² tan(x) dx = sec(x)²/2 + C

  5. 5. Probe
    • Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere sec(x) hoch 2tan(x). Bestimme das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) von sec(x) hoch zwei tan(x) nach x.

Schritte, Teil 1. Mit dem Integral beginnen. Substituiere u gleich sec(x), also du gleich (sec(x) mal tan(x)) dx. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1). Rücksubstitution u gleich sec(x).

Schritte, Teil 2. Vereinfachen und die Integrationskonstante addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also sec(x) hoch zwei/2 plus C. Eine Stammfunktion F erfüllt F Strich von x gleich f(x). Da die Ableitung jeder Konstanten 0 ist, unterscheiden sich alle Stammfunktionen um eine Konstante C.

Probe. Das Ergebnis abgeleitet und an 8 Stichprobenstellen mit dem Integranden verglichen, das stimmt.

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