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Aufgabe lösen
MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 0:49

Inverse von [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.3 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    [123014560]−1\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. det⁡A=1≠0\det A = 1 \neq 0
      Prüfen, dass die Determinante ungleich null ist
    2. [123100014010560001]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Die erweiterte Matrix [A | I] aufschreiben
    3. R3→R3−5R1: [1231000140100−4−15−501]R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
    4. R1→R1−2R2, R3→R3+4R2: [10−51−20014010001−541]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. R1→R1+5R3, R2→R2−4R3: [100−2418501020−15−4001−541]R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren
    2. A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Die rechte Hälfte ist jetzt die Inverse
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Probe: A·A⁻¹ = I
  4. 4. Die Antwort
    A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]

  5. 5. Probe
    • Multipliziert man A mit dem Ergebnis, erhält man exakt die Einheitsmatrix.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Inverse von [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]. Die Inverse einer 3 mal 3-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Prüfen, dass die Determinante ungleich null ist. Die erweiterte Matrix [A | I] aufschreiben. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren.

Schritte, Teil 2. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren. Die rechte Hälfte ist jetzt die Inverse. Probe: A mal A hoch minus 1 gleich I.

Die Antwort. Die Antwort lautet also A hoch minus 1 gleich [[-24, 18, 5], [20, minus 15, minus 4], [-5, 4, 1]]. Die Determinante ist 1, also ist A invertierbar. Alle Einträge der Inversen sind exakt.

Probe. Multipliziert man A mit dem Ergebnis, erhält man exakt die Einheitsmatrix.

Ähnliche Lektionen

Inverse von [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]: Videolektion Schritt für Schritt