GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:31

Löse das System -x - 2y = 8, 2y - z = -4, 2x - 3y - 2z = -2

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} - x-2y = 8 \\ 2y- z = -4 \\ 2x-3y-2z = -2 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} -x - 2y = 8 \\ 2y - z = -4 \\ 2x - 3y - 2z = -2 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}-1 & -2 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & -2 & -2\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-1} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & -2 & -2\end{bmatrix}$
  R1 durch -1 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -7 & -2 & 14\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & -7 & -2 & 14\end{bmatrix}$
  R2 durch 2 teilen
3. $R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 7R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & 0 & -\frac{11}{2} & 0\end{bmatrix}$
  Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-\frac{11}{2}} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$
  R3 durch -11/2 teilen
4. Schritte, Teil 3
1. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3},\ R_{2} \to R_{2} + \frac{1}{2} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$
  Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
3. $x = -4,\ y = -2,\ z = 0$
  Die eindeutige Lösung ablesen
5. Die Antwort
$x = -4,\ y = -2,\ z = 0$
-x - 2y = 8; 2y - z = -4; 2x - 3y - 2z = -2 ⇒ x = -4, y = -2, z = 0
6. Probe
- Gleichung 1: -x - 2y = 8 ✓
- Gleichung 2: 2y - z = -4 ✓
- Gleichung 3: 2x - 3y - 2z = -2 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System minus x minus 2y gleich 8, 2y minus z gleich minus 4, 2x minus 3y minus 2z gleich minus 2. 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten (x, y, z).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y, z | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch minus 1 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. R2 durch 2 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. R3 durch minus 11 durch 2 teilen.

Schritte, Teil 3. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 4, y gleich minus 2, z gleich 0. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: minus x minus 2y gleich 8, das stimmt. Gleichung 2: 2y minus z gleich minus 4, das stimmt. Gleichung 3: 2x minus 3y minus 2z gleich minus 2, das stimmt.

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