GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:38

Löse das System -3x - 3y - 3z = 9, -3x - y - 3z = 1, -x + 3y + 3z = -25

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1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} -3x-3y-3z = 9 \\ -3x- y-3z = 1 \\ - x+3y+3z = -25 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} -3x - 3y - 3z = 9 \\ -3x - y - 3z = 1 \\ -x + 3y + 3z = -25 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}-3 & -3 & -3 & 9 \\ -3 & -1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 & -25\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-3} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ -3 & -1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 & -25\end{bmatrix}$
  R1 durch -3 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{2} \to R_{2} + 3R_{1},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 4 & 4 & -28\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 4 & 4 & -28\end{bmatrix}$
  R2 durch 2 teilen
3. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & -12\end{bmatrix}$
  Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  R3 durch 4 teilen
4. Schritte, Teil 3
1. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
3. $x = 4,\ y = -4,\ z = -3$
  Die eindeutige Lösung ablesen
5. Die Antwort
$x = 4,\ y = -4,\ z = -3$
-3x - 3y - 3z = 9; -3x - y - 3z = 1; -x + 3y + 3z = -25 ⇒ x = 4, y = -4, z = -3
6. Probe
- Gleichung 1: -3x - 3y - 3z = 9 ✓
- Gleichung 2: -3x - y - 3z = 1 ✓
- Gleichung 3: -x + 3y + 3z = -25 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System minus 3x minus 3y minus 3z gleich 9, minus 3x minus y minus 3z gleich 1, minus x plus 3y plus 3z gleich minus 25. 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten (x, y, z).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y, z | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch minus 3 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. R2 durch 2 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. R3 durch 4 teilen.

Schritte, Teil 3. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 4, y gleich minus 4, z gleich minus 3. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: minus 3x minus 3y minus 3z gleich 9, das stimmt. Gleichung 2: minus 3x minus y minus 3z gleich 1, das stimmt. Gleichung 3: minus x plus 3y plus 3z gleich minus 25, das stimmt.

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