DerivadasCálculoUniversidad≈ 1:27

Derivada de (sin(x²+1))/(arctan(x²+1))

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x.

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right]$
2. Pasos, parte 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right] = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x$
  Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}$
  Regla de la cadena — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left({x}^{2}+1\right)\right] = 2\cos\left({x}^{2}+1\right) x$
  Regla de la cadena — d/dx[sin u] = cos u · u′
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
3. Pasos, parte 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $f'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x$
  Reunir y simplificar
4. La respuesta
$f'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x$
f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x
5. Comprobación
- Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Derivada de (sin(x al cuadrado más 1))/(arctan(x al cuadrado más 1)). Hallar la derivada de (sin(x al cuadrado más 1)) / (atan(x al cuadrado más 1)) con respecto a x.

Pasos, parte 1. Regla del cociente: (u/v) prima es igual a (u prima v menos uv prima )/v al cuadrado. Regla de la cadena — d sobre d x[arctan u] es igual a u prima /(1 más u al cuadrado). Regla de la cadena — d sobre d x[sin u] es igual a cos u por u prima. Regla de la suma: derivar cada término por separado.

Pasos, parte 2. Regla de la potencia: d sobre d x[x elevado a n] es igual a n por x elevado a n menos 1. Reunir y simplificar.

La respuesta. Entonces, la respuesta es f prima de x es igual a (2cos(x al cuadrado más 1) / atan(x al cuadrado más 1) menos 2(1 / atan(x al cuadrado más 1)) al cuadrado por sin(x al cuadrado más 1) / ((x al cuadrado más 1) al cuadrado más 1)) por x. La derivada se construye de fuera hacia dentro: las sumas se separan en términos, las constantes salen como factor, los productos y los cocientes usan sus reglas y cada función compuesta se multiplica por la derivada de su interior (regla de la cadena).

Comprobación. Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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