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Comment calculer l’écart type (échantillon et population)

Par MathSolver Pro Editorial Team · Publié le 25 octobre 2026

L’écart type mesure à quelle distance les données se trouvent habituellement de leur moyenne. Ce guide détaille le calcul étape par étape, explique quand diviser par n et quand diviser par n moins 1, et montre comment interpréter le résultat une fois obtenu.

Ce que mesure l’écart type

La moyenne indique où se trouve le centre d’une série, mais pas à quel point les valeurs sont regroupées autour. L’écart type comble ce manque. Un petit écart type signifie que les valeurs sont proches de la moyenne ; un grand, qu’elles sont très dispersées. Il s’exprime dans la même unité que les données : un écart type de 5 centimètres pour des tailles signifie qu’une taille typique s’écarte d’environ 5 centimètres de la moyenne.

Le calcul suit une logique simple. Mesurez la distance de chaque valeur à la moyenne, élevez ces distances au carré pour que les valeurs au-dessus et en dessous de la moyenne ne se compensent pas, faites la moyenne des carrés et, enfin, prenez la racine carrée pour revenir à l’unité d’origine. Si vous avez besoin de revoir la moyenne elle-même, commencez par moyenne, médiane, mode et écart type.

Les deux formules

Il en existe deux versions, selon que vos données forment une population entière ou un échantillon tiré d’une population plus large :

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

L’écart type de la population $\sigma$ divise par le nombre de valeurs $N$ . L’écart type de l’échantillon $s$ divise par $n - 1$ . La quantité sous la racine est la variance, notée $\sigma^2$ ou $s^2$ . La variance est utile en théorie, mais son unité est au carré, comme les centimètres carrés, c’est pourquoi on communique généralement l’écart type.

Cinq étapes, détaillées à la main

Exemple 1 : écart type de cinq valeurs

Données : 6, 8, 10, 12, 14. Étape 1, calculez la moyenne : $\frac{50}{5} = 10$ .
Étape 2, soustrayez la moyenne de chaque valeur : $-4, -2, 0, 2, 4$ .
Étape 3, élevez chaque écart au carré : $16, 4, 0, 4, 16$ .
Étape 4, additionnez les carrés : $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ .
Étape 5, divisez puis prenez la racine carrée. Pour une population : $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ . Pour un échantillon : $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ .

Un tableau avec des colonnes pour $x$ , $x - \bar{x}$ et $(x - \bar{x})^2$ garde le travail bien organisé. Une vérification utile : les écarts de la deuxième colonne ont toujours une somme nulle. Si ce n’est pas le cas, la moyenne est fausse, et tout ce qui suit le sera aussi.

Pourquoi divise-t-on par n moins 1 pour un échantillon ?

Quand vous travaillez sur un échantillon, vous ne connaissez pas la vraie moyenne de la population : vous mesurez donc les écarts par rapport à la moyenne de l’échantillon. Or celle-ci est, par construction, le point qui rend la somme des carrés des écarts la plus petite possible pour cet échantillon précis. Les écarts mesurés par rapport à elle sont donc, en moyenne, un peu plus petits qu’ils ne le seraient par rapport à la vraie moyenne.

Diviser par $n - 1$ au lieu de $n$ corrige cet effet et fait de la variance de l’échantillon un estimateur sans biais de la variance de la population. Cet ajustement s’appelle la correction de Bessel. On peut aussi le voir en termes de degrés de liberté : une fois la moyenne et $n - 1$ des écarts connus, le dernier est imposé, car leur somme doit être nulle. Seuls $n - 1$ écarts apportent une information indépendante.

En pratique, utilisez la formule de l’échantillon, sauf si vos données couvrent réellement tous les membres du groupe qui vous intéresse, comme les notes de tous les élèves d’une classe quand seule cette classe vous intéresse.

Une formule raccourcie et les tableaux d’effectifs

Une formule algébriquement équivalente évite de calculer chaque écart séparément :

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

Pour les données de l’exemple 1, $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ , donc $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ , comme précédemment. Ce raccourci est rapide à la main, mais les ordinateurs l’évitent avec des nombres grands ou très précis, car soustraire deux grands nombres presque égaux fait perdre de la précision.

Exemple 2 : des données dans un tableau d’effectifs

Une enquête relève le nombre d’animaux de compagnie dans 10 foyers : la valeur 1 apparaît 2 fois, la valeur 2 apparaît 5 fois et la valeur 3 apparaît 3 fois.
Moyenne : $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ .
Carrés des écarts pondérés : $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ .
Pour un échantillon : $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ . Pour une population : $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ .

Comment interpréter le résultat

Pour des données qui suivent à peu près une loi normale en forme de cloche, la règle empirique donne une lecture concrète de l’écart type : environ 68 pour cent des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne, environ 95 pour cent à moins de deux et environ 99,7 pour cent à moins de trois. Si les tailles d’un groupe d’adultes ont une moyenne de 170 centimètres et un écart type de 8, environ 95 pour cent du groupe mesure entre 154 et 186 centimètres.

Pour des données de forme quelconque, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit encore qu’au moins 75 pour cent des valeurs se trouvent à moins de deux écarts types de la moyenne, et au moins environ 89 pour cent à moins de trois. Exprimer la distance d’une valeur à la moyenne en écarts types donne son score z, qui permet de comparer des valeurs mesurées sur des échelles différentes.

L’écart type réagit aussi de façon prévisible aux transformations des données. Ajouter une même constante à toutes les valeurs décale la moyenne mais ne change pas l’écart type, puisque la dispersion reste la même. Multiplier toutes les valeurs par une constante multiplie l’écart type par la valeur absolue de cette constante : passer des mètres aux centimètres le multiplie donc par 100.

Avec une calculatrice ou un tableur

Les calculatrices scientifiques ont généralement deux touches, souvent notées $\sigma_x$ ou $\sigma_n$ pour la version population et $s_x$ ou $\sigma_{n-1}$ pour la version échantillon. Dans les tableurs comme Excel et Google Sheets en français, ECARTYPE.PEARSON calcule l’écart type de la population et ECARTYPE.STANDARD celui de l’échantillon ; l’ancienne fonction ECARTYPE donne aussi la valeur pour un échantillon. Choisir la mauvaise est la cause la plus fréquente de résultats qui ne concordent pas.

La calculatrice d’écart type affiche les deux versions avec le tableau complet des écarts, idéal pour vérifier des devoirs faits à la main. La calculatrice de moyenne, médiane et mode ajoute les autres indicateurs de synthèse, et la calculatrice de score z utilise le résultat pour centrer et réduire des valeurs précises.

Comparer la dispersion entre des échelles différentes

Les écarts types sont difficiles à comparer quand les moyennes sont très différentes. Un écart type de 2 kilogrammes est énorme pour des nouveau-nés, mais minuscule pour des éléphants adultes. Le coefficient de variation règle le problème en divisant l’écart type par la moyenne ; on l’exprime souvent en pourcentage. Deux placements aux rendements annuels moyens de 6 et 9 pour cent, avec des écarts types de 3 et 9 points de pourcentage, ont des coefficients de variation de 50 et 100 pour cent : le second est donc deux fois plus volatil par rapport à son rendement habituel.

Erreurs fréquentes

Oublier d’élever les écarts au carré, si bien que les valeurs positives et négatives se compensent et donnent zéro.
Oublier la racine carrée finale et donner la variance à la place.
Confondre les formules de l’échantillon et de la population, ou appuyer sur la mauvaise touche de la calculatrice.
Arrondir fortement la moyenne avant de calculer les écarts, ce qui accumule les erreurs d’arrondi.
Traiter un tableau d’effectifs comme si chaque valeur n’apparaissait qu’une seule fois.

Questions fréquentes

Dois-je utiliser l’écart type de l’échantillon ou celui de la population ?

N’utilisez la formule de la population que si vos données couvrent tous les membres du groupe que vous voulez décrire. Si les données sont un échantillon servant à connaître un groupe plus large, ce qui est le cas habituel, utilisez la formule de l’échantillon avec $n - 1$ .

Pourquoi prendre la racine carrée de la variance ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, et l’écart type est sa racine carrée. Ils contiennent la même information, mais l’écart type s’exprime dans l’unité d’origine, ce qui le rend plus facile à interpréter.

Que signifie un écart type égal à zéro ?

Que toutes les valeurs de la série sont identiques : il n’y a aucune dispersion. La moindre variation rend l’écart type strictement positif.

Un grand écart type est-il une mauvaise chose ?

Pas forcément. Il signifie seulement que les données sont dispersées. Que ce soit bon ou mauvais dépend du contexte : une grande variation des délais de livraison est mauvaise, alors qu’une grande variation dans un essai d’amélioration des plantes peut être exactement ce que le chercheur espère trouver.

MathSolver Pro Editorial Team

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