Calculatrice de score z

À propos de la calculatrice de score z

Le score z indique à quelle distance de la moyenne se trouve une valeur, mesurée en écarts types. Il ramène des notes d’examens différents, des tailles de populations différentes ou des mesures dans des unités différentes à une même échelle commune, pour que vous puissiez les comparer directement et voir à quel point elles sont inhabituelles.

Cette calculatrice effectue les six tâches liées aux scores z que l’on rencontre en cours de statistique : calculer $z$ à partir d’une valeur, retrouver la valeur à partir de $z$ , trouver l’aire à gauche ou à droite de $z$ , trouver l’aire entre deux scores z et obtenir le score z d’un centile donné. Les aires sont calculées directement à partir de la loi normale centrée réduite : aucune table n’est nécessaire.

Qu’est-ce qu’un score z ?

Pour une valeur $x$ d’une population de moyenne $\mu$ et d’écart type $\sigma$ , le score z vaut $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Un score z de 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne ; un score z positif, qu’elle est au-dessus de la moyenne, et un score négatif, qu’elle est en dessous.

Si les données suivent une loi normale, le score z indique aussi le centile. L’aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite à gauche de $z$ , notée $\Phi(z)$ , est la proportion de valeurs inférieures à $x$ .

Comment utiliser la calculatrice de score z

Choisissez le calcul : score z à partir de x, valeur brute à partir de z, aire à gauche, aire à droite, aire entre deux valeurs ou score z d’un centile.
Saisissez les données demandées par le mode : x, la moyenne et l’écart type ; un ou deux scores z ; ou un centile.
Les centiles peuvent s’écrire en décimal, par exemple 0.95, ou en pourcentage, par exemple 95%.
Cliquez sur Calculer.
Consultez le score z ou l’aire, ainsi que son interprétation en centile.

Formules

Score z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Valeur à partir de z

x = \mu + z\sigma

Aire à droite

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Aire entre deux valeurs

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Exemple corrigé: x = 85, μ = 70, σ = 10

L’exemple prend une note de $x = 85$ dans une classe de moyenne $\mu = 70$ et d’écart type $\sigma = 10$ . En soustrayant la moyenne, on obtient 15, puis en divisant par l’écart type, $z = 1.5$ : la note se situe à un écart type et demi au-dessus de la moyenne.

L’aire à gauche de $z = 1.5$ vaut environ 0.9332 : si les notes suivent une loi normale, l’élève a fait mieux qu’environ 93.32% de la classe.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

z = 1.5

Comment nous avons lu votre problème

Score z à partir de x, de la moyenne et de l’écart type

Solution étape par étape

Soustraire la moyenne de la valeur
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Diviser par l’écart type
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Chercher l’aire à gauche (centile)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Formules utilisées

Score z
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 se situe à 1.5 écarts types au-dessus de la moyenne ; environ 93.32% d’une population normale se situe en dessous.

Vérification

Dans l’autre sens : μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Explication détaillée

Lire les aires sous la courbe de Gauss

L’aire totale sous la courbe de la loi normale centrée réduite vaut 1, et la courbe est symétrique par rapport à 0. L’aire à gauche de $z = 1.25$ vaut environ 0.8944 ; l’aire à droite de $z = 1.96$ vaut environ 0.025, c’est pourquoi 1.96 apparaît dans les intervalles de confiance à 95%. L’aire entre $-1$ et $1$ vaut environ 0.6827.

Ces aires sont à l’origine de la règle empirique : environ 68% des valeurs d’une loi normale se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne, environ 95% à moins de deux et environ 99.7% à moins de trois.

Le chemin inverse : du centile au score z

Le mode inverse résout $\Phi(z) = p$ . Pour le 95e centile, il renvoie $z \approx 1.645$ . Associez-le à $x = \mu + z\sigma$ pour trouver la valeur seuil : avec une moyenne de 70 et un écart type de 10, le 95e centile vaut environ $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

Le mode valeur à partir de z effectue directement cette seconde étape. Si vous saisissez $z = 1.5$ avec la même moyenne et le même écart type, il renvoie $x = 85$ , ce qui inverse l’exemple de départ.

Comparer des valeurs sur des échelles différentes

Supposons qu’un élève obtienne 85 à un examen de moyenne 70 et d’écart type 10, et un autre 620 à un examen de moyenne 500 et d’écart type 100. Leurs scores z valent 1.5 et 1.2 : le premier résultat est donc relativement meilleur, même si 620 semble un nombre plus grand.

Les scores z servent aussi à repérer les valeurs aberrantes : les valeurs telles que $|z| > 3$ sont rares dans un modèle normal et méritent une seconde vérification. Notez que l’interprétation en centile suppose des données à peu près normales ; avec des données très asymétriques, le score z mesure toujours la distance à la moyenne, mais l’aire obtenue peut être trompeuse.

Erreurs fréquentes

Soustraire dans le mauvais ordre ; c’est la valeur moins la moyenne, et non la moyenne moins la valeur.
Diviser par la variance au lieu de l’écart type.
Donner l’aire à gauche quand on demande la probabilité de dépasser une valeur.
Écrire un centile sous la forme 95 au lieu de 95% ou 0.95.
Appliquer les centiles de la loi normale à des données manifestement non normales.

Conseils

Dessinez la courbe en cloche et coloriez la région voulue avant de calculer.
Profitez de la symétrie : $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Retenez les valeurs de référence 1.645, 1.96 et 2.576 pour les intervalles bilatéraux à 90%, 95% et 99%.
Si vous n’avez que les données brutes, utilisez d’abord la calculatrice d’écart type.
N’arrondissez les scores z à deux décimales qu’à la toute fin.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on un score z ?

Soustrayez la moyenne de la valeur et divisez par l’écart type : z = (x − μ) ÷ σ. Pour x = 85, μ = 70 et σ = 10, z = 1.5.

Que signifie un score z négatif ?

Que la valeur est inférieure à la moyenne. Un score z de −2 signifie que la valeur se situe deux écarts types en dessous de la moyenne.

Comment convertir un score z en centile ?

Trouvez l’aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite à gauche de z. Pour z = 1.5, l’aire vaut environ 0.9332, soit le 93e centile.

Comment trouver le score z d’un centile ?

Choisissez le mode inverse et saisissez le centile, par exemple 95%. La calculatrice renvoie z ≈ 1.645.

Qu’est-ce qu’un bon score z ?

Tout dépend du contexte. Les valeurs entre −1 et 1 sont courantes ; celles qui dépassent ±2 sont inhabituelles, et celles qui dépassent ±3 sont rares dans un modèle normal.

Ai-je besoin d’une table de la loi normale ?

Non. La calculatrice obtient directement les aires de la loi normale : vous obtenez des valeurs plus précises qu’avec une table imprimée.

Pourquoi la calculatrice refuse-t-elle un écart type de 0 ?

Parce que la division par zéro n’est pas définie, et qu’un écart type de 0 signifie que toutes les valeurs sont égales à la moyenne : centrer et réduire n’a alors aucun sens.

Essayez la calculatrice de score z

Saisissez une valeur, la moyenne et l’écart type, ou un centile, et obtenez le score z et l’aire avec chaque étape expliquée.

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