Calculatrice d’arrangements et de combinaisons

À propos de la calculatrice d’arrangements et de combinaisons

Beaucoup de problèmes de dénombrement se ramènent à une seule question : l’ordre des éléments choisis compte-t-il ? Placer des coureurs sur le podium est un arrangement, car or-argent-bronze n’est pas la même chose que bronze-argent-or. Choisir trois personnes pour un comité est une combinaison, car les trois mêmes personnes forment le même comité dans n’importe quel ordre.

Cette calculatrice couvre les quatre cas habituels : arrangements et combinaisons sans répétition, arrangements avec répétition (comme les codes PIN) et combinaisons avec répétition (comme choisir des boules de glace parmi plusieurs parfums). Elle travaille avec des entiers exacts : même des dénombrements gigantesques, comme le nombre de mains au poker, s’affichent en entier au lieu d’être arrondis.

Que sont les arrangements et les combinaisons ?

Un arrangement est une liste ordonnée de $r$ éléments choisis parmi $n$ éléments distincts. Leur nombre vaut $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ , le produit des $r$ premiers facteurs de $n!$ . Une combinaison est un choix sans ordre, et leur nombre vaut $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Les deux sont liés : chaque combinaison de $r$ éléments peut être ordonnée de $r!$ façons, donc $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . La calculatrice utilise cette identité pour vérifier chaque résultat de nPr et de nCr.

Comment utiliser la calculatrice d’arrangements et de combinaisons

Choisissez ce que vous voulez dénombrer : combinaisons, arrangements, arrangements avec répétition ou combinaisons avec répétition.
Saisissez le nombre total d’éléments n.
Saisissez le nombre d’éléments choisis r.
Cliquez sur Calculer.
Consultez le résultat, la formule utilisée et les étapes de la simplification.

Formules

Arrangements

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Combinaisons

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Arrangements avec répétition

n^r

Combinaisons avec répétition

\binom{n + r - 1}{r}

Exemple corrigé: C(10, 3)

L’exemple calcule $C(10, 3)$ , le nombre de façons de choisir 3 éléments parmi 10 lorsque l’ordre ne compte pas. On commence par compter les choix ordonnés : $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Chaque groupe de trois apparaît $3! = 6$ fois dans cette liste, une fois par ordre possible, donc $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . La vérification confirme que $120 \times 6 = 720$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

120

Comment nous avons lu votre problème

Combinaisons nCr (l’ordre ne compte pas)

Solution étape par étape

Appliquer la formule des combinaisons
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Diviser les arrangements par r! car l’ordre ne compte pas
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Formules utilisées

Combinaisons nCr (l’ordre ne compte pas)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Il y a 120 façons de choisir 3 éléments parmi 10 lorsque l’ordre ne compte pas.

Vérification

Vérification : P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Explication détaillée

Pourquoi les factorielles se simplifient

Écrire $\frac{n!}{(n-r)!}$ semble exiger des nombres énormes, mais la plupart des facteurs se simplifient. Pour $P(8, 3)$ , il ne reste que $8 \times 7 \times 6 = 336$ : huit choix pour la première place, sept pour la deuxième et six pour la troisième. La calculatrice montre ce raccourci au lieu de calculer les factorielles complètes.

Les combinaisons éliminent les $r!$ ordres de chaque choix. C’est pourquoi $C(n, r)$ est toujours inférieur ou égal à $P(n, r)$ , et pourquoi $C(n, r) = C(n, n - r)$ : choisir les $r$ éléments que l’on prend revient à choisir les $n - r$ que l’on laisse.

Dénombrer avec répétition

Lorsque les éléments peuvent se répéter et que l’ordre compte, chacune des $r$ positions offre $n$ choix, ce qui donne $n^r$ . Un code PIN à quatre chiffres a $10^4 = 10{,}000$ possibilités.

Lorsque les éléments peuvent se répéter mais que l’ordre ne compte pas, la méthode des étoiles et des barres donne $\binom{n + r - 1}{r}$ . Choisir 4 boules de glace parmi 3 parfums, avec répétition possible, peut se faire de $\binom{6}{4} = 15$ façons. Dans ce mode, $r$ peut être supérieur à $n$ .

Grands nombres et cas limites

Le nombre de mains de cinq cartes au poker vaut $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ , et la calculatrice garde ces résultats exacts grâce à l’arithmétique entière. Par convention, $C(n, 0) = 1$ , car il y a exactement une façon de ne rien choisir.

Sans répétition, on ne peut pas choisir plus d’éléments qu’il n’y en a. Si vous demandez $C(3, 5)$ , un message clair suggère un mode avec répétition ou un $r$ plus petit, au lieu d’un zéro dénué de sens.

Les combinaisons et le triangle de Pascal

Les valeurs $C(n, r)$ forment le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus : $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Cette relation a une explication combinatoire. Fixez un élément particulier ; chaque choix soit le contient, et il reste $r - 1$ éléments à choisir parmi les $n - 1$ autres, soit l’exclut, et il faut choisir les $r$ éléments parmi les $n - 1$ autres.

Ces mêmes nombres sont les coefficients du développement du binôme $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ , d’où leur nom de coefficients binomiaux. La somme d’une ligne entière vaut $2^n$ , le nombre total de parties d’un ensemble à $n$ éléments, puisque chaque élément est soit dedans, soit dehors.

Erreurs fréquentes

Utiliser les arrangements alors que l’ordre ne compte pas, ce qui compte trop d’un facteur $r!$ .
Utiliser les combinaisons pour des listes ordonnées comme des mots de passe, des classements ou des plans de table.
Oublier que la répétition change complètement la formule.
Calculer à la main les factorielles complètes au lieu de les simplifier, ce qui favorise les erreurs de calcul.
Choisir un r supérieur à n dans un problème où les éléments ne peuvent pas se répéter.

Conseils

Demandez-vous : « si j’échange deux éléments choisis, est-ce que j’obtiens un résultat différent ? ». Si oui, utilisez les arrangements.
Utilisez $C(n, r) = C(n, n - r)$ pour simplifier les calculs à la main.
Découpez les problèmes complexes en étapes et multipliez les dénombrements de chaque étape.
Divisez un dénombrement par le nombre total de cas pour le transformer en probabilité.
Utilisez le mode binomial de la calculatrice de probabilités quand il vous faut la probabilité de k succès plutôt qu’un simple dénombrement.
Faites d’abord une estimation : si un nombre de choix dépasse celui des arrangements correspondants, quelque chose cloche.

Questions fréquentes

Quelle différence entre un arrangement et une combinaison ?

Un arrangement compte des listes ordonnées ; une combinaison compte des choix sans ordre. Choisir 3 éléments parmi 10 donne 720 arrangements, mais seulement 120 combinaisons.

Comment calcule-t-on nCr ?

Utilisez n! ÷ (r!(n − r)!). En pratique, multipliez les r premiers facteurs de n! et divisez par r!. Pour C(10, 3), on obtient 720 ÷ 6 = 120.

Comment calcule-t-on nPr ?

Multipliez les r premiers facteurs de n! : P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Combien y a-t-il de mains de cinq cartes au poker ?

C(52, 5) = 2,598,960, car l’ordre dans lequel vous recevez les cartes ne compte pas.

Que signifie « avec répétition » ?

Que chaque élément peut être choisi plusieurs fois, comme les chiffres d’un code PIN. Les choix ordonnés avec répétition sont au nombre de nʳ ; les choix non ordonnés, de C(n + r − 1, r).

Pourquoi C(n, 0) vaut-il 1 ?

Parce qu’il y a exactement une façon de ne choisir aucun élément : le choix vide. Le même raisonnement donne 0! = 1.

r peut-il être supérieur à n ?

Seulement si la répétition est autorisée. Sans répétition, la calculatrice explique qu’on ne peut pas choisir plus d’éléments qu’il n’y en a.

Essayez la calculatrice d’arrangements et de combinaisons

Saisissez n et r et obtenez le dénombrement exact, la formule et la simplification des factorielles étape par étape.

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