Calculatrice d’écart type

À propos de la calculatrice d’écart type

L’écart type mesure la dispersion des données autour de leur moyenne. Un petit écart type signifie que les valeurs sont proches de la moyenne ; un grand, qu’elles sont très dispersées.

Utilisez la formule de la population lorsque vos données couvrent tous les membres du groupe qui vous intéresse, et la formule de l’échantillon, qui divise par $n-1$ , lorsque les données sont un échantillon servant à estimer une population plus large.

Que mesure l’écart type ?

L’écart type mesure à quel point une série de nombres se disperse autour de sa moyenne. S’il est petit, les valeurs sont proches de la moyenne ; s’il est grand, elles sont très étalées. Deux classes peuvent obtenir toutes deux une moyenne de 70 à un contrôle, mais si l’une a un écart type de 3 et l’autre de 15, la première a obtenu des résultats homogènes, alors que la seconde va des élèves en difficulté aux excellents élèves.

On le calcule à partir des écarts, c’est-à-dire de la distance de chaque valeur à la moyenne. Ces écarts ont toujours une somme nulle : on les élève donc au carré avant d’en faire la moyenne, ce qui donne la variance. En prenant la racine carrée de la variance, on revient aux unités d’origine : l’écart type de tailles mesurées en centimètres s’exprime aussi en centimètres.

Comment utiliser la calculatrice d’écart type

Saisissez ou collez les nombres séparés par des virgules, des espaces ou des retours à la ligne.
Choisissez Échantillon ou Population entière.
Cliquez sur Calculer pour voir la moyenne, les écarts au carré, la variance et l’écart type.

Formules

Écart type d’une population

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Écart type d’un échantillon

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Variance d’une série

\sigma^2,\ s^2 = (\text{écart type})^2

Exemple corrigé: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (échantillon)

L’exemple résolu traite 4, 8, 6, 5, 3, 7 comme un échantillon. La moyenne vaut $\frac{33}{6} = 5.5$ . Les écarts sont $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , et la somme de leurs carrés vaut 17.5. En divisant par $n - 1 = 5$ , on obtient la variance de l’échantillon 3.5, dont la racine carrée est l’écart type de l’échantillon $s \approx 1.870828693$ . Pour comparaison, si ces six mêmes nombres sont traités comme une population entière, on divise par 6 et on obtient $\sigma \approx 1.707825128$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

s = 1.870828693

Comment nous avons lu votre problème

Les données sont traitées comme un échantillon d’une population plus large (correction de Bessel, division par n − 1).

Solution étape par étape

Calculer la moyenne
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Élever au carré chaque écart à la moyenne
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Additionner les carrés des écarts
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Diviser par n − 1 pour obtenir la variance de l’échantillon
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Prendre la racine carrée
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Formules utilisées

Écart type de l’échantillon
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Écart type de la population
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

L’écart type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Une petite valeur signifie que les données sont regroupées près de la moyenne.

Vérification

Variance = 3.5, et 1.870828693² = 3.5
Écart type de la population, pour comparaison : 1.707825128

Explication détaillée

Échantillon ou population en pratique

Les deux formules ne diffèrent que par le diviseur, mais le choix compte pour les petites séries. Si les nombres concernent tous les membres du groupe qui vous intéresse, comme les notes des 25 élèves d’une classe, utilisez la formule de la population avec $N$ . S’il s’agit d’un échantillon servant à estimer la dispersion d’un groupe plus large, comme 25 élèves tirés de tout un établissement, utilisez la formule de l’échantillon avec $n - 1$ . Le deuxième exemple de la calculatrice, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 traité comme une population, a pour moyenne 5 et la somme des carrés des écarts vaut 32, donc $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Comment interpréter le résultat

Pour des données en forme de cloche, la règle empirique indique qu’environ 68% des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne, environ 95% à moins de deux et environ 99.7% à moins de trois. Une valeur qui s’éloigne de la moyenne de plus de deux écarts types est donc inhabituelle. En divisant l’écart d’une valeur à la moyenne par l’écart type, on obtient son score z, qui permet de comparer des résultats mesurés sur des échelles différentes, comme une note d’examen et un temps de course.

L’écart type est sensible aux valeurs aberrantes, car les écarts sont élevés au carré, et une seule valeur extrême peut le gonfler fortement. Pour des données très asymétriques, l’écart interquartile résume souvent mieux la dispersion.

Erreurs fréquentes

Utiliser $n$ au lieu de $n - 1$ pour un échantillon, ce qui sous-estime la dispersion.
Oublier d’élever les écarts au carré, si bien que les écarts positifs et négatifs s’annulent et donnent zéro.
Donner la variance quand l’énoncé demande l’écart type.
Arrondir la moyenne avant de calculer les écarts, ce qui fausse tous les carrés.
Oublier la racine carrée finale et donner la variance comme s’il s’agissait de l’écart type.

Conseils

Pour des données en forme de cloche, environ 68% des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne.
L’écart type a les mêmes unités que les données ; la variance a ces unités au carré.
Ajouter une constante à toutes les valeurs ne change pas l’écart type.
Si vous ajoutez une constante à toutes les valeurs, l’écart type ne change pas ; si vous multipliez toutes les valeurs par $k$ , il est multiplié par $|k|$ .
Utilisez la calculatrice de score z pour voir à combien d’écarts types de la moyenne se trouve une valeur donnée.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que l’écart type ?

C’est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Il indique à quelle distance de la moyenne se trouve généralement une valeur.

Faut-il utiliser la formule de l’échantillon ou celle de la population ?

Utilisez celle de la population lorsque vous avez les données de tout le groupe. Utilisez celle de l’échantillon lorsque vos données sont un sous-ensemble servant à décrire un groupe plus large, ce qui est le cas le plus fréquent.

Pourquoi la formule de l’échantillon divise-t-elle par n − 1 ?

La moyenne de l’échantillon est plus proche des valeurs de l’échantillon que la vraie moyenne, ce qui réduit les écarts. Diviser par $n-1$ (correction de Bessel) compense cet effet et donne une estimation sans biais de la variance.

L’écart type peut-il être nul ?

Oui, exactement lorsque toutes les valeurs sont égales. Il ne peut jamais être négatif.

Combien de valeurs faut-il ?

Une seule valeur suffit pour l’écart type d’une population (qui vaut alors 0). La formule de l’échantillon demande au moins deux valeurs.

Quelle différence entre variance et écart type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts ; l’écart type est sa racine carrée, qui ramène la mesure dans les unités des données.

Qu’est-ce qu’un écart type faible ou élevé ?

Il n’existe pas de seuil universel ; tout dépend de l’échelle des données. Comparez-le à la moyenne, ou utilisez le coefficient de variation $\frac{s}{\bar x}$ , pour juger si la dispersion est grande par rapport aux valeurs typiques.

Quel est l’effet d’une valeur aberrante sur l’écart type ?

Il est important, car chaque écart est élevé au carré. Si l’on remplace 7 par 70 dans l’exemple, l’écart type de l’échantillon passe d’environ 1.87 à plus de 26.

Essayez la calculatrice d’écart type

Collez vos données et obtenez la moyenne, la variance et l’écart type, avec chaque étape expliquée.

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