Calculatrice de probabilités

À propos de la calculatrice de probabilités

La probabilité mesure la vraisemblance d’un événement sur une échelle allant de 0 (impossible) à 1 (certain). La plupart des exercices des manuels relèvent de quelques schémas : compter des cas favorables, combiner des événements indépendants, conditionner par une information déjà connue et compter des succès lors d’épreuves répétées. Cette calculatrice traite les quatre.

Les données peuvent être des effectifs entiers, des décimaux comme 0.25, des fractions comme 1/4 ou des pourcentages comme 25%. Chaque fois que c’est possible, la réponse est donnée sous forme de fraction exacte avec sa valeur décimale et son pourcentage, pour que vous puissiez la présenter sous la forme attendue par votre professeur ou votre manuel. Chaque mode affiche aussi les probabilités contraires ou associées que les exercices demandent souvent ensuite.

Qu’est-ce qu’une probabilité ?

Lorsque toutes les issues d’une expérience sont équiprobables, la probabilité d’un événement $A$ est le nombre d’issues favorables à $A$ divisé par le nombre total d’issues. En lançant deux dés, il y a 36 issues équiprobables, et dans six d’entre elles la somme vaut 7, donc $P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

Les probabilités obéissent à quelques règles : elles sont comprises entre 0 et 1, la probabilité que $A$ ne se produise pas vaut $1 - P(A)$ et la probabilité que $A$ ou $B$ se produise vaut $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . La probabilité conditionnelle et la loi binomiale reposent directement sur ces règles.

Comment utiliser la calculatrice de probabilités

Choisissez le type de problème : un seul événement, deux événements indépendants, probabilité conditionnelle ou loi binomiale.
Pour un seul événement, saisissez le nombre de cas favorables et le nombre total de cas équiprobables.
Pour des événements indépendants, saisissez P(A) et P(B) ; pour une probabilité conditionnelle, saisissez P(A et B) et P(B).
Pour un problème binomial, saisissez le nombre d’épreuves n, la probabilité de succès p et le nombre de succès k, et indiquez si vous voulez exactement, au plus, moins de, au moins ou plus de k.
Cliquez sur Calculer la probabilité et consultez la réponse exacte, le pourcentage et les étapes qui la justifient.

Formules

Probabilité classique (formule de Laplace)

P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas totaux}}

Événements indépendants

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Probabilité conditionnelle

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilité binomiale

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Exemple corrigé: Deux dés : P(somme 7) = 6/36

L’exemple demande la probabilité que la somme de deux dés équilibrés vaille 7. Il y a 6 cas favorables, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), sur un total de 36, donc $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , soit environ 16.67%.

La calculatrice donne aussi l’événement contraire, $1 - \frac16 = \frac56$ , c’est-à-dire la probabilité d’obtenir n’importe quelle autre somme, et la cote en faveur, $6 : 30$ , qui compare les cas favorables aux cas défavorables plutôt qu’au total.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

Comment nous avons lu votre problème

Un seul événement (favorables ÷ total)

Solution étape par étape

Diviser le nombre de cas favorables par le nombre total de cas équiprobables
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Événement contraire : l’événement ne se produit pas
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Cote en faveur
$6 : 30$

Formules utilisées

Probabilité classique (formule de Laplace)
$P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas totaux}}$
Événement contraire
$P(A') = 1 - P(A)$

L’événement se produit dans 6 des 36 issues équiprobables : sa probabilité vaut donc 16.666667% ; il ne se produit pas avec une probabilité de 83.333333%.

Explication détaillée

Événements indépendants et formule d’addition

Deux événements sont indépendants lorsque savoir que l’un s’est produit ne change pas la probabilité de l’autre, comme deux lancers distincts d’une pièce. Dans ce cas, la probabilité que les deux se produisent est le produit. Avec $P(A) = \frac12$ et $P(B) = 0.3$ , les deux se produisent avec une probabilité de $0.15$ , au moins l’un des deux avec $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ , exactement l’un des deux avec $0.65 - 0.15 = 0.5$ et aucun des deux avec $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

La calculatrice vérifie que $P(A \cup B) + P(\text{aucun}) = 1$ , un contrôle utile puisque ces deux cas réunis couvrent toutes les issues.

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle restreint l’univers aux issues où $B$ s’est produit et se demande à quelle fréquence $A$ se produit aussi dans cet univers plus petit. Si 12% des clients achètent à la fois un téléphone et une coque, et que 40% achètent un téléphone, alors $P(\text{coque} \mid \text{téléphone}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ : 30% des acheteurs d’un téléphone prennent aussi une coque.

La probabilité de l’intersection ne peut jamais dépasser $P(B)$ , et $P(B)$ doit être strictement positive ; la calculatrice affiche une erreur dans l’un ou l’autre cas. Retenez que $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$ sont généralement différentes, et que la formule de Bayes est l’outil qui permet de passer de l’une à l’autre.

Probabilité binomiale

Une expérience binomiale répète $n$ épreuves indépendantes, chacune avec la même probabilité de succès $p$ . La probabilité d’obtenir exactement $k$ succès multiplie le nombre de façons de les placer, $\binom{n}{k}$ , par la probabilité de l’une quelconque de ces dispositions. Pour au plus, au moins, moins de ou plus de $k$ , la calculatrice additionne les termes correspondants et indique lesquels elle a additionnés.

Par exemple, la probabilité d’obtenir au moins 8 piles en 10 lancers d’une pièce équilibrée vaut $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . La calculatrice donne aussi l’espérance $np$ et l’écart type $\sqrt{np(1-p)}$ de la loi.

Erreurs fréquentes

Multiplier les probabilités d’événements qui ne sont pas indépendants.
Additionner $P(A)$ et $P(B)$ sans soustraire l’intersection, ce qui peut donner un total supérieur à 1.
Confondre $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$ .
Compter des issues qui ne sont pas équiprobables, comme traiter les sommes de 2 à 12 de deux dés comme si elles avaient la même probabilité.
Confondre la cote et la probabilité ; une cote de 1 : 5 correspond à une probabilité de $\frac16$ .

Conseils

Passez par l’événement contraire pour les questions « au moins un » : $1 - P(\text{aucun})$ est souvent plus rapide.
Pour les petits problèmes, énumérez l’univers ou dessinez un arbre avant de calculer.
Écrivez les probabilités sous forme de fractions pour obtenir une réponse exacte.
Vérifiez que toutes les réponses sont comprises entre 0 et 1.
Utilisez la calculatrice d’arrangements et de combinaisons pour compter les cas avant de diviser.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on la probabilité d’un événement ?

Divisez le nombre de cas favorables par le nombre total de cas équiprobables. Pour que deux dés aient une somme de 7, c’est 6 ÷ 36 = 1/6.

Comment calcule-t-on la probabilité que deux événements indépendants se produisent ?

Multipliez leurs probabilités. Avec P(A) = 0.5 et P(B) = 0.3, les deux se produisent avec une probabilité de 0.15.

Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?

C’est la probabilité de A sachant que B s’est produit, P(A | B) = P(A et B) ÷ P(B). On se limite aux issues où B se produit.

Quand utiliser le mode binomial ?

Quand une expérience comporte un nombre fixe d’épreuves indépendantes, chacune avec deux issues possibles et la même probabilité de succès, et que vous voulez la probabilité d’obtenir un nombre donné de succès.

Puis-je saisir des pourcentages ou des fractions ?

Oui. Les probabilités peuvent s’écrire en décimal (0.25), en fraction (1/4) ou en pourcentage (25%). En mode événement unique, les nombres de cas doivent être des entiers.

Quelle différence entre la cote et la probabilité ?

La probabilité compare les cas favorables à tous les cas ; la cote compare les cas favorables aux cas défavorables. Une probabilité de 1/6 correspond à une cote en faveur de 1 : 5.

Comment calculer « au moins » dans un problème binomial ?

Choisissez « P(X ≥ k) au moins k ». La calculatrice additionne les probabilités de k à n et montre quels termes elle a additionnés.

Essayez la calculatrice de probabilités

Choisissez le type de problème et obtenez la probabilité exacte, le pourcentage et chaque étape expliquée.

Utiliser la calculatrice Demander au solveur IA

À propos de la calculatrice de probabilités

Qu’est-ce qu’une probabilité ?

Comment utiliser la calculatrice de probabilités

Formules

Probabilité classique (formule de Laplace)

Événements indépendants

Probabilité conditionnelle

Probabilité binomiale

Exemple corrigé: Deux dés : P(somme 7) = 6/36

Réponse finale

Comment nous avons lu votre problème

Solution étape par étape

Formules utilisées

Explication détaillée

Événements indépendants et formule d’addition

Probabilité conditionnelle

Probabilité binomiale

Erreurs fréquentes

Conseils

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on la probabilité d’un événement ?

Comment calcule-t-on la probabilité que deux événements indépendants se produisent ?

Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?

Quand utiliser le mode binomial ?

Puis-je saisir des pourcentages ou des fractions ?

Quelle différence entre la cote et la probabilité ?

Comment calculer « au moins » dans un problème binomial ?

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