Moyenne, médiane, mode et écart type : le guide complet

Position et dispersion : les deux grandes questions

Une liste de nombres est difficile à lire d’un coup d’œil. La statistique la résume en répondant à deux questions. Où se situe le centre des données ? Et à quelle distance de ce centre les valeurs se trouvent-elles habituellement ? Les indicateurs de position, c’est-à-dire la moyenne, la médiane et le mode, répondent à la première question. Les indicateurs de dispersion, comme l’étendue, l’écart interquartile et l’écart type, répondent à la seconde.

Il faut les deux. Deux classes peuvent avoir la même moyenne à un contrôle et pourtant, dans l’une, tout le monde a obtenu une note proche de la moyenne, alors que dans l’autre les notes vont de la note éliminatoire à la note parfaite. Le centre seul masque cette différence, et la dispersion seule ne dit rien de la réussite de la classe dans son ensemble.

La moyenne

La moyenne, ou moyenne arithmétique, est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. Pour une série $x_1, x_2, \ldots, x_n$ :

La moyenne utilise toutes les valeurs, ce qui la rend efficace mais aussi sensible. Une seule valeur extrême, une valeur aberrante, peut la déplacer fortement. Une moyenne pondérée donne plus de poids à certaines valeurs qu’à d’autres. Si l’examen final compte pour 60 pour cent de la note et les devoirs pour 40 pour cent, des notes de 80 et de 90 se combinent en $0.6(80) + 0.4(90) = 84$, et non en la moyenne simple 85.

La médiane

La médiane est la valeur centrale une fois les données rangées dans l’ordre. Avec un nombre impair de valeurs, c’est l’unique valeur du milieu ; avec un nombre pair, c’est la moyenne des deux valeurs du milieu.

La médiane ne tient pas compte de l’éloignement des valeurs extrêmes, ce qui la rend robuste face aux valeurs aberrantes. Supposons que cinq personnes gagnent 30, 35, 40, 45 et 50 mille dollars par an. La moyenne et la médiane valent toutes deux 40 mille. Si une sixième personne gagnant un million de dollars, soit 1 000 milliers, rejoint le groupe, la moyenne grimpe à 200 mille, plus que ce que gagne n’importe qui sauf le nouveau venu, alors que la médiane ne monte qu’à 42,5 mille. C’est pourquoi les prix de l’immobilier et les revenus sont souvent exprimés par des médianes.

Le mode

Le mode est la valeur la plus fréquente. Dans les notes du contrôle, 85 apparaît trois fois, donc le mode est 85. Une série peut avoir un mode, deux modes (on la dit bimodale), plusieurs, ou aucun si chaque valeur apparaît exactement une fois.

Le mode est le seul indicateur de position utilisable pour des données qualitatives. On ne peut pas faire la moyenne de couleurs préférées ou de marques de baskets, mais on peut dire laquelle est la plus populaire. Pour des données numériques, le mode est surtout utile quand les valeurs se répètent souvent, comme les pointures dans les ventes d’un magasin de chaussures, où la pointure la plus fréquente est exactement ce que doit savoir la personne qui passe les commandes.

Quel indicateur de position choisir ?

• Utilisez la moyenne pour des données à peu près symétriques et sans valeurs aberrantes extrêmes, comme des tailles ou des erreurs de mesure.
• Utilisez la médiane pour des données asymétriques ou comportant des valeurs aberrantes, comme les revenus, les prix de l’immobilier ou les temps d’attente.
• Utilisez le mode pour des catégories, ou pour des valeurs discrètes dont seule compte l’option la plus fréquente.

Comparer la moyenne et la médiane renseigne aussi sur la forme des données. Quand la moyenne est nettement supérieure à la médiane, une longue queue de valeurs élevées la tire vers le haut, et la distribution est étalée à droite (asymétrie positive). Quand la moyenne est inférieure, elle est étalée à gauche. Pour les notes du contrôle, la moyenne de 82,1 est inférieure à la médiane de 85, car quelques notes basses tirent la moyenne vers le bas.

Mesurer la dispersion : étendue et écart type

L’indicateur de dispersion le plus simple est l’étendue : la plus grande valeur moins la plus petite. Pour les notes du contrôle, elle vaut $95 - 68 = 27$ points. L’étendue est facile à calculer, mais elle dépend entièrement des deux valeurs les plus extrêmes. L’écart interquartile, qui mesure la dispersion de la moitié centrale des données, est plus robuste.

L’écart type est l’indicateur de dispersion le plus utilisé. Il représente en gros la distance habituelle entre une valeur et la moyenne. Pour une population entière, il vaut :

La différence entre diviser par $n$ et par $n - 1$, et pourquoi elle compte, est expliquée en détail dans comment calculer l’écart type.

Associer les bons résumés

Un bon résumé d’une série donne un indicateur de position et un indicateur de dispersion cohérents entre eux. La moyenne va naturellement avec l’écart type, car tous deux utilisent toutes les valeurs et tous deux sont sensibles aux valeurs aberrantes. La médiane va avec l’écart interquartile, car tous deux sont robustes. Donner une médiane avec un écart type mélange deux logiques différentes et peut induire en erreur.

Pour des données en forme de cloche, la moyenne et l’écart type racontent une histoire remarquablement complète : environ 68 pour cent des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne et environ 95 pour cent à moins de deux. Mesurer la distance d’une valeur à la moyenne en écarts types, c’est exactement ce que fait un score z. La calculatrice de moyenne, médiane et mode calcule tous les indicateurs de cet article à partir d’une liste collée, et la calculatrice d’écart type détaille chaque étape du calcul de la dispersion.

Les quartiles et l’écart interquartile

Les quartiles partagent les données rangées en quatre parts égales. Une méthode simple consiste à prendre la médiane de chaque moitié. Pour les notes rangées, la moitié inférieure est 68, 72, 77, 85, donc le premier quartile vaut $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$. La moitié supérieure est 85, 85, 90, 95, donc le troisième quartile vaut $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$. L’écart interquartile vaut $87.5 - 74.5 = 13$ points, la largeur de la moitié centrale de la classe.

Les manuels et les logiciels utilisent des conventions légèrement différentes pour les quartiles, si bien que de petits écarts entre résultats sont normaux et ne signalent pas une erreur. Une règle courante signale comme valeur aberrante possible toute valeur située à plus de 1,5 écart interquartile en dessous du premier quartile ou au-dessus du troisième. Ici, les bornes sont 55 et 107, donc aucune note n’est inhabituelle.

Questions fréquentes