Le score z expliqué avec des exemples détaillés

Ce que mesure un score z

Une note brute, seule, dit peu de chose. Obtenir 85 à un examen semble bien, mais si tous les autres ont obtenu 95, c’est en réalité un résultat faible. Le score z, aussi appelé valeur centrée réduite, règle ce problème en situant une valeur par rapport à son groupe. Il répond à une seule question : à combien d’écarts types de la moyenne cette valeur se trouve-t-elle ?

Ici, $x$ est la valeur, $\mu$ la moyenne et $\sigma$ l’écart type. Un score z positif signifie que la valeur est au-dessus de la moyenne ; un score négatif, qu’elle est en dessous ; et zéro, qu’elle est exactement égale à la moyenne. Un score z de 2 signifie deux écarts types au-dessus de la moyenne, ce qui est inhabituellement élevé pour la plupart des séries. Pour revoir le calcul de l’écart type lui-même, consultez comment calculer l’écart type.

Calculer un score z pas à pas

Les unités s’annulent toujours, car le numérateur et le dénominateur s’expriment dans l’unité d’origine. C’est ce qui rend les scores z sans dimension et comparables entre des mesures complètement différentes.

Comparer des résultats sur des échelles différentes

L’usage le plus pratique des scores z est la comparaison équitable. Supposons qu’une élève obtienne 82 à un examen de chimie de moyenne 75 et d’écart type 5, et 88 à un examen d’histoire de moyenne 80 et d’écart type 8. La note d’histoire est plus élevée, mais quel résultat est le plus méritoire ?

Par rapport aux autres élèves, le résultat en chimie est meilleur : 1,4 écart type au-dessus de la moyenne contre 1,0. La même idée permet aux scientifiques de comparer des mesures issues d’instruments différents, et aux analystes de comparer la performance d’une entreprise à celle de secteurs dont les valeurs habituelles sont très différentes.

Du score z à la valeur d’origine

En résolvant la formule à l’envers, on obtient la valeur d’origine correspondant à un score z donné :

Pour l’examen de moyenne 70 et d’écart type 10, un score z de $-1.2$ correspond à $70 + (-1.2)(10) = 58$. Cette forme est utile pour fixer des seuils, par exemple pour savoir quelle note un élève doit obtenir pour entrer dans les 10 pour cent les meilleurs, comme le montre l’exemple 4 plus bas.

Des scores z aux percentiles

Quand les données suivent une loi normale, la courbe en cloche de Gauss, un score z peut se convertir en percentile, la proportion des valeurs situées en dessous. La loi normale centrée réduite a pour moyenne 0 et pour écart type 1, et sa fonction de répartition, notée $\Phi(z)$, donne cette proportion. Quelques valeurs de référence sont utiles à retenir :

• $\Phi(0) = 0.5$ : la moyenne correspond au 50e percentile.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ et $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$ : l’élève de l’exemple 1 a donc fait mieux qu’environ 93 pour cent de la classe.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$ : l’élève de l’exemple 2 se situe donc vers le 21e percentile.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, c’est pourquoi la valeur 1,96 apparaît dans les intervalles de confiance à 95 pour cent.

La règle empirique résume la courbe en cloche : environ 68 pour cent des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne, environ 95 pour cent à moins de deux et environ 99,7 pour cent à moins de trois. Les valeurs telles que $|z| > 3$ sont donc rares et souvent examinées comme valeurs aberrantes possibles.

Scores z pour des moyennes d’échantillon

Les moyennes varient moins que les valeurs individuelles. Si l’on tire des échantillons de taille $n$ dans une population de moyenne $\mu$ et d’écart type $\sigma$, la moyenne de l’échantillon a pour écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, appelé erreur type. Le score z d’une moyenne d’échantillon est

Par exemple, si 25 élèves de l’examen précédent ont une moyenne de 73, l’erreur type vaut $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ et $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Gagner trois points est banal pour un élève, mais assez inhabituel pour la moyenne de 25 élèves. Cette formule est le point de départ des tests z et des intervalles de confiance dans les cours d’introduction à la statistique.

Précautions d’emploi des scores z

• Convertir des scores z en percentiles avec $\Phi$ n’est valable que si les données sont à peu près normales. Pour des données très asymétriques, comme les revenus, les percentiles doivent être lus dans les données elles-mêmes.
• Utilisez l’écart type de la population quand vous le connaissez, et celui de l’échantillon comme estimation sinon ; avec de petits échantillons, il faut recourir à la loi de Student.
• Un score z décrit une position au sein d’un groupe. Comparer les scores z de groupes de niveaux très différents peut encore induire en erreur.
• Gardez le signe. Un score z de $-2$ et un score de $2$ sont aussi inhabituels l’un que l’autre, mais ils signifient des choses opposées.

La calculatrice de score z calcule les scores z, les percentiles et l’aire entre deux valeurs, et la calculatrice d’écart type fournit la moyenne et l’écart type dont vous avez besoin au préalable.

Où l’on rencontre les scores z en pratique

Les rapports des tests standardisés convertissent souvent les notes brutes en notes normalisées ou en percentiles fondés sur la même idée que le score z. Les pédiatres suivent la taille et le poids d’un enfant à l’aide de courbes de croissance, et certains outils cliniques expriment directement ces mesures en scores z pour l’âge de l’enfant. Les ostéodensitométries donnent un T-score, qui est un score z mesuré par rapport à de jeunes adultes en bonne santé. Les ingénieurs qualité signalent les pièces dont les mesures s’écartent de plus de trois écarts types de la valeur nominale, et les analystes financiers centrent et réduisent les rendements pour comparer sur une même échelle des fonds de niveaux de risque différents.

Exercices

1. Une série a pour moyenne 50 et pour écart type 4. Calculez le score z de 56. Solution : $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Des scores ont pour moyenne 100 et pour écart type 15. Quel score correspond à $z = -2$ ? Solution : $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Des valeurs suivent une loi normale de moyenne 500 et d’écart type 100. Quelle proportion se situe en dessous de 650 ? Solution : $z = 1.5$, donc environ $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, soit 93 pour cent.

Questions fréquentes