Les bases des probabilités : une introduction pratique

Issues, événements et échelle des probabilités

Les probabilités partent d’une expérience aléatoire, comme lancer un dé, et de son univers, l’ensemble de toutes les issues possibles. Pour un lancer de dé ordinaire, l’univers est $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Un événement est n’importe quel ensemble d’issues, comme obtenir un nombre pair, c’est-à-dire l’ensemble $\{2, 4, 6\}$.

Toute probabilité est comprise entre 0 et 1. Une probabilité de 0 signifie que l’événement est impossible, 1 qu’il est certain, et 0,5 qu’il a autant de chances de se produire que de ne pas se produire. Les probabilités peuvent s’écrire sous forme de fractions, de décimaux ou de pourcentages : $\frac{1}{4}$, 0,25 et 25 pour cent signifient la même chose. Quand toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d’un événement est un simple quotient :

Autrement dit, le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ainsi, la probabilité d’obtenir un nombre pair est $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Avec deux dés, il y a $6 \times 6 = 36$ issues ordonnées équiprobables, et six d’entre elles donnent une somme de 7, à savoir (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), donc $P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Pour dénombrer les issues dans des problèmes plus vastes, on utilise les techniques des permutations et combinaisons.

La règle de l’événement contraire

L’événement contraire d’un événement $A$ regroupe tout ce qui n’est pas dans $A$. Comme l’un ou l’autre doit se produire, leurs probabilités ont pour somme 1 :

Chaque fois qu’un énoncé dit « au moins un », essayez d’abord l’événement contraire. Il transforme presque toujours un long calcul en un calcul court.

La probabilité d’une réunion : A ou B

La probabilité que $A$ ou $B$ se produise, ou les deux, s’obtient en additionnant leurs probabilités et en retranchant celle de l’intersection, qui serait sinon comptée deux fois :

En tirant une carte d’un jeu de 52 cartes, la probabilité d’obtenir un cœur ou un roi est $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, car le roi de cœur appartient aux deux groupes. Des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps, comme obtenir un 2 et obtenir un 5 sur un même lancer, sont incompatibles. Leur intersection est vide, donc leurs probabilités s’additionnent simplement.

La probabilité d’une intersection : A et B

Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre, comme pour des lancers de pièce distincts. Pour des événements indépendants, on multiplie :

Obtenir deux fois face en deux lancers a donc une probabilité de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Quand les événements sont dépendants, la seconde probabilité doit tenir compte de ce qui s’est déjà produit. En tirant deux cartes sans remise, la probabilité d’obtenir deux as est $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, car après avoir retiré un as, il ne reste que 3 as parmi 51 cartes.

Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

La probabilité conditionnelle est la probabilité de $A$ sachant que $B$ s’est produit, notée $P(A \mid B)$. Savoir que $B$ s’est produit réduit l’univers à $B$ :

La formule de Bayes inverse une probabilité conditionnelle et transforme $P(B \mid A)$ en $P(A \mid B)$. Son application la plus célèbre montre pourquoi un test médical positif peut être moins inquiétant qu’il n’y paraît.

L’espérance

L’espérance d’un jeu ou d’une variable aléatoire est le résultat moyen à long terme ; on l’obtient en multipliant chaque résultat par sa probabilité et en additionnant :

Supposons qu’un jeu rapporte 10 dollars si le dé affiche un six et coûte 2 dollars sinon. L’espérance vaut $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$ : le jeu est donc équitable, et après de nombreuses parties on peut s’attendre à être à l’équilibre. Les jeux de casino sont conçus avec une espérance légèrement négative pour le joueur, et c’est ainsi que les casinos gagnent de l’argent sur des millions de mises, même si certains joueurs gagnent parfois. Les assurances reposent sur le même principe, vu de l’autre côté : l’assureur encaisse en primes un peu plus que ce qu’il s’attend à verser en sinistres.

Pièges fréquents

• Le sophisme du joueur : après cinq rouges d’affilée à une roulette équilibrée, le noir n’est pas « dû ». Chaque tirage est indépendant, la probabilité ne change donc pas.
• Additionner les probabilités d’événements qui se recoupent sans retrancher l’intersection, ce qui peut donner des probabilités supérieures à 1.
• Multiplier les probabilités d’événements qui ne sont pas indépendants.
• Confondre $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$, comme dans l’exemple du test médical.
• Sous-estimer les coïncidences : dans un groupe de seulement 23 personnes, la probabilité que deux d’entre elles aient le même anniversaire est d’environ 50,7 pour cent.

La loi des grands nombres explique ce que les probabilités garantissent vraiment : quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se stabilise près de sa probabilité. Elle ne promet rien sur une courte série de résultats. La calculatrice de probabilités traite les événements simples, composés et conditionnels étape par étape, et la calculatrice de permutations et combinaisons dénombre les issues dont ont besoin de nombreux problèmes de probabilités.

Arbres de probabilités pour les problèmes en plusieurs étapes

Quand une expérience se déroule en plusieurs étapes, un arbre de probabilités permet de suivre chaque chemin. On note chaque branche avec sa probabilité, on multiplie le long d’un chemin pour obtenir la probabilité de toute la séquence, et on additionne les chemins qui forment l’événement recherché.

Les arbres rendent visible la règle du produit et montrent clairement où les probabilités changent d’une étape à l’autre. C’est aussi la façon la plus sûre de poser un problème relevant de la formule de Bayes, car chaque branche de la seconde étape est une probabilité conditionnelle.

Questions fréquentes