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Résoudre un problème
Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 1:01

Intégrer x/(x²+1) de 0 à 2

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: 0.8047189562.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫02xx2+1 dx\int_{0}^{2} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Étape par étape
    1. ∫02xx2+1 dx\int_{0}^{2} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫xx2+1 dx=ln⁡(∣x2+1∣)2\int \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)}{2}
      Règle du logarithme : le numérateur est un multiple constant de la dérivée du dénominateur, ∫ u′/u dx = ln|u|
    3. F(x)=ln⁡(∣x2+1∣)2F(x) = \frac{\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)}{2}
      Primitive
    4. F(2)−F(0)=0.8047189562−0=0.8047189562F(2) - F(0) = 0.8047189562 - 0 = 0.8047189562
      Appliquer le théorème fondamental de l’analyse
  3. 3. La réponse
    ∫02xx2+1 dx=0.8047189562\int_{0}^{2} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx = 0.8047189562

    ∫ from 0 to 2 = 0.8047189562

  4. 4. Vérification
    • Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée ✓
    • La méthode de Simpson adaptative donne 0.8047189562 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer x/(x au carré plus 1) de 0 à 2. Calculer l prime intégrale définie de x / (x au carré plus 1) de x égale 0 à x égale 2.

Étape par étape. Partir de l’intégrale. Règle du logarithme: le numérateur est un multiple constant de la dérivée du dénominateur, l'intégrale de u prime /u dx égale ln|u|. Primitive. Appliquer le théorème fondamental de l’analyse.

La réponse. La réponse est donc 0.8047189562. Une intégrale donne l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses: l’aire située au-dessus de l’axe compte positivement et celle située en dessous compte négativement.

Vérification. Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée, ce qui est vérifié. La méthode de Simpson adaptative donne 0.8047189562, ce qui est vérifié.

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