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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:44

Inverse de [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]].

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.3 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    [200030004]−1\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. det⁡A=24≠0\det A = 24 \neq 0
      Vérifier que le déterminant est non nul
    2. [200100030010004001]\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Écrire la matrice augmentée [A | I]
    3. R1→12R1: [1001200030010004001]R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Diviser R1 par 2
    4. R2→13R2: [10012000100130004001]R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Diviser R2 par 3
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. R3→14R3: [100120001001300010014]R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}
      Diviser R3 par 4
    2. A−1=[120001300014]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}
      La moitié droite est maintenant l’inverse
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Vérification : A·A⁻¹ = I
  4. 4. La réponse
    A−1=[120001300014]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]]

  5. 5. Vérification
    • Multiplier A par le résultat donne exactement la matrice identité.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Inverse de [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]. Calculer l’inverse d’une matrice 3 fois 3.

Étapes, partie 1. Vérifier que le déterminant est non nul. Écrire la matrice augmentée [A | I]. Diviser R1 par 2. Diviser R2 par 3.

Étapes, partie 2. Diviser R3 par 4. La moitié droite est maintenant l’inverse. Vérification: A fois A puissance moins 1 égale I.

La réponse. La réponse est donc A puissance moins 1 égale [[1 sur 2, 0, 0], [0, 1 sur 3, 0], [0, 0, 1 sur 4]]. Le déterminant vaut 24, donc A est inversible. Tous les coefficients de l’inverse sont exacts.

Vérification. Multiplier A par le résultat donne exactement la matrice identité.

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