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Resolver um problema
DerivadasCálculoFaculdade≈ 1:34

Derivada de ((2x)³/(arctan(x²+x+1))

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: f'(x) = (24x² + 8(-(2x⁴) - x³) / ((x² + x + 1)² + 1) / atan(x² + x + 1)) / atan(x² + x + 1).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ddx[(2x)3tan⁡−1(x2+x+1)]\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left(2x\right)}^{3}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}\right]
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ddx[(2x)3tan⁡−1(x2+x+1)]=24x2+8(−(2x4)−x3)(x2+x+1)2+1tan⁡−1(x2+x+1)tan⁡−1(x2+x+1)\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left(2x\right)}^{3}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}\right] = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}
      Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[tan⁡−1(x2+x+1)]=2x+1(x2+x+1)2+1\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}
      Regra da cadeia — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
    3. ddx[x2+x+1]=2x+1\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1
      Regra da soma: derivar cada termo separadamente
    4. ddx[x2+x]=2x+1\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1
      Regra da soma: derivar cada termo separadamente
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Regra da potência: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    2. ddx[(2x)3]=24x2\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}\right] = 24{x}^{2}
      Regra da potência com a regra da cadeia: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
    3. ddx[2x]=2\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2
      Regra da constante vezes função
    4. f′(x)=24x2+8(−(2x4)−x3)(x2+x+1)2+1tan⁡−1(x2+x+1)tan⁡−1(x2+x+1)f'(x) = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}
      Juntar e simplificar
  4. 4. A resposta
    f′(x)=24x2+8(−(2x4)−x3)(x2+x+1)2+1tan⁡−1(x2+x+1)tan⁡−1(x2+x+1)f'(x) = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}

    f'(x) = (24x² + 8(-(2x⁴) - x³) / ((x² + x + 1)² + 1) / atan(x² + x + 1)) / atan(x² + x + 1)

  5. 5. Verificação
    • Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Derivada de ((2x) ao cubo)/(arctan(x ao quadrado mais x mais 1)). Calcular a derivada de ((2x) ao cubo) / (atan(x ao quadrado mais x mais 1)) em relação a x.

Passos, parte 1. Regra do quociente: (u/v) linha igual a (u linha v menos uv linha )/v ao quadrado. Regra da cadeia — d sobre d x[arctan u] igual a u linha /(1 mais u ao quadrado). Regra da soma: derivar cada termo separadamente. Regra da soma: derivar cada termo separadamente.

Passos, parte 2. Regra da potência: d sobre d x[x elevado a n] igual a n vezes x elevado a n menos 1. Regra da potência com a regra da cadeia: d sobre d x[u elevado a n] igual a n vezes u elevado a n menos 1 vezes u linha. Regra da constante vezes função. Juntar e simplificar.

A resposta. Portanto, a resposta é f linha de x igual a (24x ao quadrado mais 8(-(2x elevado a 4) menos x ao cubo) / ((x ao quadrado mais x mais 1) ao quadrado mais 1) / atan(x ao quadrado mais x mais 1)) / atan(x ao quadrado mais x mais 1). A derivada se constrói de fora para dentro: as somas se separam em termos, as constantes saem como fator, os produtos e os quocientes seguem as suas regras, e cada função composta é multiplicada pela derivada da sua função interna (regra da cadeia).

Verificação. Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste, o que confere.

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