DerivadasCálculoFaculdade≈ 1:42

Derivada de (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1).

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Passos na tela

1. O problema
Exemplo resolvido
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. Passos, parte 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Regra da cadeia — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Regra da soma: derivar cada termo separadamente
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Regra da exponencial: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Passos, parte 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Regra da cadeia — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Regra da soma: derivar cada termo separadamente
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Regra da soma: derivar cada termo separadamente
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Regra da potência: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. Passos, parte 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Juntar e simplificar
5. A resposta
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. Verificação
- Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Derivada de (arctan(x ao quadrado mais x mais 1))(ln(e elevado a x mais 1)). Calcular a derivada de (atan(x ao quadrado mais x mais 1)) (ln(e elevado a x mais 1)) em relação a x.

Passos, parte 1. Regra do produto: (uv) linha igual a u linha v mais uv linha. Regra da cadeia — d sobre d x[ln u] igual a u linha /u. Regra da soma: derivar cada termo separadamente. Regra da exponencial: d sobre d x[eᵘ] igual a eᵘ vezes u linha.

Passos, parte 2. Regra da cadeia — d sobre d x[arctan u] igual a u linha /(1 mais u ao quadrado). Regra da soma: derivar cada termo separadamente. Regra da soma: derivar cada termo separadamente. Regra da potência: d sobre d x[x elevado a n] igual a n vezes x elevado a n menos 1.

Passos, parte 3. Juntar e simplificar.

A resposta. Portanto, a resposta é f linha de x igual a (2x mais 1) vezes ln(e elevado a x mais 1) / ((x ao quadrado mais x mais 1) ao quadrado mais 1) mais atan(x ao quadrado mais x mais 1) vezes e elevado a x / (e elevado a x mais 1). A derivada se constrói de fora para dentro: as somas se separam em termos, as constantes saem como fator, os produtos e os quocientes seguem as suas regras, e cada função composta é multiplicada pela derivada da sua função interna (regra da cadeia).

Verificação. Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste, o que confere.

Passos na tela

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