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Resolver um problema
DerivadasCálculoFaculdade≈ 1:26

Derivada de (√(eˣ+1))(cos(sin(x)))

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ddx[ex+1cos⁡(sin⁡(x))]\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right]
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ddx[ex+1cos⁡(sin⁡(x))]=excos⁡(sin⁡(x))2−ex+12sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)ex+1\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}
      Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
    2. ddx[cos⁡(sin⁡(x))]=−(sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x))\frac{d}{dx}\left[\cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = -\left(\sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)\right)
      Regra da cadeia — d/dx[cos u] = −sin u · u′
    3. ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)
      d/dx[sin x] = cos x
    4. ddx[ex+1]=ex2ex+1\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1}\right] = \frac{\frac{{e}^{x}}{2}}{\sqrt{{e}^{x}+1}}
      Regra da cadeia — d/dx[√u] = u′/(2√u)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ddx[ex+1]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}
      Regra da soma: derivar cada termo separadamente
    2. ddx[ex]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}
      Regra da exponencial: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    3. f′(x)=excos⁡(sin⁡(x))2−ex+12sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)ex+1f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}
      Juntar e simplificar
  4. 4. A resposta
    f′(x)=excos⁡(sin⁡(x))2−ex+12sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)ex+1f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}

    f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1)

  5. 5. Verificação
    • Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Derivada de (sqrt(e elevado a x mais 1))(cos(sin(x))). Calcular a derivada de (sqrt(e elevado a x mais 1)) (cos(sin(x))) em relação a x.

Passos, parte 1. Regra do produto: (uv) linha igual a u linha v mais uv linha. Regra da cadeia — d sobre d x[cos u] igual a menos sin u vezes u linha. d sobre d x[sin x] igual a cos x. Regra da cadeia — d sobre d x[a raiz quadrada de u] igual a u linha /(2a raiz quadrada de u.

Passos, parte 2. Regra da soma: derivar cada termo separadamente. Regra da exponencial: d sobre d x[eᵘ] igual a eᵘ vezes u linha. Juntar e simplificar.

A resposta. Portanto, a resposta é f linha de x igual a (e elevado a x vezes cos(sin(x)) / 2 menos sqrt(e elevado a x mais 1) ao quadrado vezes sin(sin(x)) vezes cos(x)) / sqrt(e elevado a x mais 1). A derivada se constrói de fora para dentro: as somas se separam em termos, as constantes saem como fator, os produtos e os quocientes seguem as suas regras, e cada função composta é multiplicada pela derivada da sua função interna (regra da cadeia).

Verificação. Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste, o que confere.

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