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Resolver um problema
DerivadasCálculoFaculdade≈ 1:27

Derivada de (sin(x²+1))/(arctan(x²+1))

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ddx[sin⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right]
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ddx[sin⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)]=(2cos⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)−2(1tan⁡−1(x2+1))2sin⁡(x2+1)(x2+1)2+1)x\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right] = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x
      Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[tan⁡−1(x2+1)]=2x(x2+1)2+1\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}
      Regra da cadeia — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
    3. ddx[sin⁡(x2+1)]=2cos⁡(x2+1)x\frac{d}{dx}\left[\sin\left({x}^{2}+1\right)\right] = 2\cos\left({x}^{2}+1\right) x
      Regra da cadeia — d/dx[sin u] = cos u · u′
    4. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Regra da soma: derivar cada termo separadamente
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Regra da potência: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    2. f′(x)=(2cos⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)−2(1tan⁡−1(x2+1))2sin⁡(x2+1)(x2+1)2+1)xf'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x
      Juntar e simplificar
  4. 4. A resposta
    f′(x)=(2cos⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)−2(1tan⁡−1(x2+1))2sin⁡(x2+1)(x2+1)2+1)xf'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x

    f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x

  5. 5. Verificação
    • Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Derivada de (sin(x ao quadrado mais 1))/(arctan(x ao quadrado mais 1)). Calcular a derivada de (sin(x ao quadrado mais 1)) / (atan(x ao quadrado mais 1)) em relação a x.

Passos, parte 1. Regra do quociente: (u/v) linha igual a (u linha v menos uv linha )/v ao quadrado. Regra da cadeia — d sobre d x[arctan u] igual a u linha /(1 mais u ao quadrado). Regra da cadeia — d sobre d x[sin u] igual a cos u vezes u linha. Regra da soma: derivar cada termo separadamente.

Passos, parte 2. Regra da potência: d sobre d x[x elevado a n] igual a n vezes x elevado a n menos 1. Juntar e simplificar.

A resposta. Portanto, a resposta é f linha de x igual a (2cos(x ao quadrado mais 1) / atan(x ao quadrado mais 1) menos 2(1 / atan(x ao quadrado mais 1)) ao quadrado vezes sin(x ao quadrado mais 1) / ((x ao quadrado mais 1) ao quadrado mais 1)) vezes x. A derivada se constrói de fora para dentro: as somas se separam em termos, as constantes saem como fator, os produtos e os quocientes seguem as suas regras, e cada função composta é multiplicada pela derivada da sua função interna (regra da cadeia).

Verificação. Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste, o que confere.

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